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author: Best Partners TV
date: '2026-09-22'
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title: 陶哲轩：数学六大基石与AI时代的科学变革
summary: 系统梳理数学家陶哲轩关于数学六大基石（数字、代数、几何、概率、分析、动力学）的核心观点，剖析数学在物理科学中“不合理的有效性”，揭示前沿数学研究排除错误假设的试错本质，并深入反思AI重塑科学范式下科研广度与下一代人才培养的深层危机。
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  - 陶哲轩
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### 认知基石：剥离复杂外衣回归直觉

大家好，这里是最佳拍档，我是**大飞**。你有没有想过一个问题：我们每天用的手机、导航、天气预报，甚至你刷短视频时看到的内容，背后都离不开数学。但数学到底是什么？它从哪里来？又要到哪里去？数学家**陶哲轩**（Terence Tao）把整个数学世界拆解成了六个最基本的概念，从数字一路聊到动力学，然后延伸到数学如何推动了科学史上那些重大发现，以及 AI 正在怎样彻底改变数学和科学的研究方式。这场访谈信息量极大，但逻辑非常清晰，今天我们就来好好聊一聊。

陶哲轩这次围绕着六个核心概念展开，分别是数字、代数、几何、概率、分析和动力学。这些概念听起来都很基础，很多我们在中学就接触过，但陶哲轩强调的是，它们每一个都从几千年前的简单直觉出发，被一代代数学家发展成了极其精密复杂的理论体系。如果我们把那些技术性的复杂外衣剥掉，它们本质上仍然是极其直觉性的概念。而**数学本身**（Mathematics: 用精确符号和公理逻辑描述数量、结构、空间与变化的语言体系），就是一套精确的语言，用来极其仔细地描述这些概念，让你能够非常清晰地思考它们。

### 数量表征：从原始计数到数系扩张

先说**数字**（Number: 用来计数、测量和标记数量规模的抽象符号）。数字是人类最古老的数学发明之一，至今可能也是最有用的。我们有记录的最早的数字痕迹，是刻在骨头上的划痕，比字母表或其他文字系统的出现还要早，而且被多个文明各自独立发明。在没有数字的年代，你想描述一个场景，只能用类似诗歌的方式去表达，总是不够精确。你告诉下一个人，他理解的东西就会偏一点。数字的出现让精确交流成为可能，它是数量、大小和规模的占位符，你可以把它传达给一个没有直接接触过那些物体的人。一旦你想描述一个有很多变量的复杂场景，你就需要数字，以及建立在数字之上的一切。

陶哲轩说了一句很有意思的话：人类其实并不是天生就习惯用数字思考的。如果你没有能力定量地衡量一个行为的收益和成本、比较哪个更大，你可能会做出一些后来后悔的人生选择，导致花了大量资源却只得到很小的回报。基本的农业和贸易，没有数字就不可能实现，因为你没法丈量大批粮食的多少；还有收税，他说“没有税收就没有文明”，这虽然令人遗憾但确实是事实，而税收就需要数学和数字。当然他也补充说，不是所有事情都应该是定量的，比如你去约会，不应该衡量潜在伴侣的成本和收益，有些东西应该保持主观和个人；但在现代社会中，越来越多的场景，比如金融和医学，定量思考是非常有帮助的。

数字有一个迷人的特性：一旦你有了数字这个概念，你就可以脱离实际应用，抽象地研究数字本身。你会发现各种模式，而且经常会发现很自然地需要把现有的数字系统扩展，创造出一些你原本以为在原始场景中用不上的新数字，但它们却完美地融入了整个系统。比如你在数羊，有时要加羊有时要减羊，很快你就发展出了加法和减法。但如果你只有计数用的正整数，你可以随时相加，但不能随时相减。三减四在数羊的场景下没有意义，你没法从三只羊里拿走四只。但数字自身的模式如此规整，如果你直接套用算术规则，三减四应该等于某个东西，于是人们花了一些时间，最终发明了**负数**和**零**。零本身也经过了很长时间才被接受。然后我们学会了除法，创造了分数。

接着来了一个冲击：在所有这些有理数之间，居然存在像根号二这样的数，无法表示为任何比值。这些数被称为**无理数**（Irrational Number: 无法表示为两个整数之比的实数），在拉丁语里字面意思是“疯狂的数”，不是“不合理”的意思；你永远无法在有限的纸上写下它所有的数字，但它们确实存在而且非常有用。再后来，我们尝试对普通数取平方根，发现有些做不到，于是又发明了**复数**（Complex Number: 包含实部与虚部的数系）。结果复数成了描述电磁学和量子力学最自然的语言。这非常令人惊叹：这些数字系统最初只是为了更好地解方程和解决实际问题而被发明，最终却成了描述现实世界中极端复杂现象的最佳语言。

### 代数跃迁：运算本质与规律抽象

第二个概念是**代数**（Algebra: 研究符号、变元及其代数运算结构性质的数学分支）。如果说数字是把具体事物（比如一群羊、一定量的水）替换为可以施加运算的数字，那么代数就是更进一步的抽象。它不再关注具体的数字，比如七或十七，而是用更泛化的占位符来代替，给它们起名叫 $x$ 和 $y$。更进一步，它还研究运算本身的性质，比如加和乘这些运算有什么属性。人们发现，那些在算术中有用的运算本身，拥有很多迷人的性质。

比如加法有一个叫**交换律**（Commutativity: 改变操作数顺序而不改变运算结果的代数性质），$A$ 加 $B$ 等于 $B$ 加 $A$。这看似简单，但它在帮助你解决涉及加法的问题时极其有用。后来我们发现这些规律也适用于其他操作，比如你把一个物体先旋转三十度再旋转六十度，和先旋转六十度再旋转三十度，结果一样，这两种旋转是可交换的。但是有些操作就不满足交换律：先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，结果完全不同。

有时候你会发现，某些操作遵循的规律和我们已经理解的数字运算规律非常相似，于是你可以把对数字的直觉、理论和证明方法直接迁移过去。比如**矩阵**（Matrix: 按照长方阵列排列的数值或复数集合），它不是单个数字，而是一整个方形的数字阵列。结果发现，矩阵遵循的代数规律和数字非常相似，如果你擅长操作数字，就可以用类似的方式操作矩阵。而我们今天的大语言模型，底层就是基于高效地操作矩阵的能力。

陶哲轩还讲了一个**约翰内斯·开普勒**（Johannes Kepler）的故事，来展示代数的早期应用。开普勒有一天走在街上，看到葡萄酒市场上有商人在卖桶装葡萄酒，有的大桶有的小桶。商人有一种很高效的方法来测量桶里有多少酒，就是拿一根有刻度的棍子，从桶中间的孔插进去到对角，看棍子插入的深度，就能说出这桶有多少加仑。开普勒被震撼了：怎么单凭这一个对角线的测量，就能算出桶的体积呢？有的桶又高又瘦，有的又矮又宽。他回家列了方程，假设桶的半径是 $r$，高度是 $h$。用今天的代数来看，这简直就是一道高中应用题。他算出了体积和对角线长度的关系，发现单凭这个长度并不能完全确定体积。但如果加入一个利润动机，比如商人想最大化给定长度下能装多少酒，于是他做了一些我们现在称之为微积分雏形的计算，结果几乎完美地匹配了市场上实际使用的桶的形状。他不仅解释了商人们通过经验摸索出来的规则，这个工作也成为后来牛顿和莱布尼茨创立微积分理论的灵感之一。

### 几何测量：感知延伸与空间预测

第三个概念是**几何**（Geometry: 研究空间维度、形状大小及位置关系的数学分支）。几何的字面意思就是希腊语的“测量大地”。从古代起，知道从一个地方到另一个地方有多远、如何在海上或荒野中利用星辰导航，就至关重要。和数字一样，一旦你开始测量不同点之间的距离和角度，就会发现大量关系和规律。

几何也遵循定律，比如**相似性**：一旦你知道两个形状相似（比如角度相同），那么所有边都成比例；大三角形的某条边是小三角形对应边的两倍，那所有其他边也是两倍。这之所以有用，是因为它允许你预测那些你无法直接触及的距离。你可以看着远处的山，估算它有多远，因为你知道它大致多高，再测量仰角，用相似三角形就能算出来。在古希腊时代，他们就已经用几何规律测量了到月球和太阳的距离，虽然不是很精确，但在没有卫星和先进技术的条件下已经相当不错了。掌握了几何，你就能把感知延伸到远超你能直接触摸和丈量的范围。

### 概率封装：不确定性与普适秩序

第四个数学基石是**概率**（Probability: 量化随机事件发生几率与统计规律的数学框架）。这是数学家用来封装现实世界中不确定性的标准方式。在学校的数学课上，我们经常给学生做一些非常干净、可预测的应用题，比如安妮有三十个苹果，分了一半给詹姆斯，詹姆斯有多少个？一切都是精确的、已知的。但现实世界充满了不确定性和不可预测性。

你抛一枚硬币，可能是正面也可能是反面，理论上如果你知道所有的力和参数，你也许能精确模拟出硬币会落在哪一面，但这极其困难，而且通常你没有那些数据。人们最终意识到，与其每次都试图精确计算每一个结果，有时候你只能接受一个事件存在多种可能的结果，重要的是哪些更频繁、哪些更罕见。最早意识到这一点重要性的是赌徒，他们写信给数学家朋友，请教如何优化赌博策略，概率论的数学框架正是在这些通信中诞生的。

当然概率早已超越了赌博的范畴，任何系统复杂到无法从第一性原理完整建模的时候，不管是股票市场，还是某种药物是否会成功，我们都会诉诸概率。不过概率在事件反复发生时效果最好，比如成千上万次试验，我们能逐渐摸清赔率；如果一个事件百年一遇，概率可能就不是最合适的数学工具了。

概率中有一个美妙的现象叫**普适性定律**（Universality Laws: 描述不同随机系统在宏观上涌现出相同统计形态的规律）。你可能会以为不同的随机系统会呈现出截然不同的分布形态，但实际上，很多非常一般的随机系统都会涌现出某些共同的形状，最著名的就是**高斯分布**（Gaussian Distribution: 呈现对称钟形曲线的正态分布），也就是钟形曲线。人的身高分布就几乎完美地形成一条钟形曲线。我们现在对这些普适性定律有了一些解释，虽然某些部分仍然神秘。

### 分析透视：误差控制与极限推理

第五个概念是**分析**（Analysis: 以极限与逼近为核心深入研究函数性质与级数的数学分支）。分析是数学处理两件事的方式：一是测量中的不精确性，不一定是随机性，而是近似和误差，分析某种程度上就是所谓“误差范围的数学”。我们意识到，有时候不仅需要知道各种量的数值，还需要知道围绕这些数值的加减误差是多少。比如你量一个物体的长度，大概是两米，正负十厘米。理想情况下误差应该为零，但现实世界中做不到。有时候如果我们不断改进测量，误差可以越来越小，但可能需要无限的精度或无限的时间，才能让误差真正归零。

分析就是研究极限和无限的工具。在代数中，运算规律在有限次操作时很好用，但是一旦你开始处理无限次操作，就会出现一些奇怪的悖论。有时候重新排列无限个对象，求和的结果会不同，这在有限和中不会发生。举个例子，如果你在轮盘赌中总是押红或黑，赢的概率 50%，输的概率 50%。有一条定理说，只要你的资金是有限的，没有任何策略能保证你长期必赢。有一种策略叫**倍投法**（Martingale Strategy: 输后翻倍下注以图单次翻盘的策略），输了就翻倍，只要赢一次就能回本；但问题在于，这假设你有无限的资金。这个策略实际上是把所有亏损的风险，压缩到了一个极小概率的事件上；但当你持续翻倍到几百万美元时，你就破产了。分析能帮你看清这些尾部风险，以及如何正确地推理无限。

还有一个经典展示叫**无限猴子定理**（Infinite Monkey Theorem: 假设有无限时间，随机按键必然产生特定文本的定理）。一只猴子在打字机上随机敲键，如果给它无限长的时间，几乎可以肯定它最终会打出莎士比亚的全集。这在数学上可以证明，只要每个特定模式被击中的概率哪怕只是正的，无论多小，只要你等得足够久，最终一定会出现。但关键是所需时间随文本长度呈指数增长：一个四字母单词可能一个小时就能打出来，但一个七字母单词可能需要好几年，而打出《哈姆雷特》哪怕一页，所需时间远超宇宙年龄。所以无限实际上只是一个占位符，代表任何可能远超你所能指定的固定数字的量。

陶哲轩在这里插了一个很生动的个人回忆。他说小时候玩电脑游戏，有些游戏可以输入作弊码，获得无限生命、无限弹药。有时候先用作弊码玩一遍，不用操心管理血量或弹药，先搞清楚怎么通关，然后再用困难模式认真打。很多数学问题也是这样解的。数学有一个区别于其他学科的特点，那就是**失败的成本极低**：你做生意决策失误导致公司破产，那是灾难；你是外科医生切错了地方，那是灾难；但你在解一道数学题时做了个错误假设，没关系，再试一次就好。一个好的策略就是先做一个理想化假设，假设你有无穷的能量、零摩擦，先在理想世界里把问题解了，然后再想办法从无限世界回到有限世界。这就是分析的工作，仔细地检验无限数学中的哪些特征在有限世界中仍然有效，哪些会崩塌。

### 动力演化：局部规则与混沌涌现

第六个概念是**动力学**（Dynamics: 研究系统状态随时间演化、运动及其规律的数学分支）。动力学是关于变化和时间的数学，研究状态如何从一个时刻演化到下一个时刻，以及从简单的增量规则中涌现出的各种有趣行为。我们发现，即使非常简单的规则，如果反复迭代足够长时间，也能产生极其复杂的涌现行为。

演化就是一个好例子。生物体繁殖，更适应环境的个体存活率更高，性状传递给后代，规则很简单，但能创造出物种的巨大多样性、捕食者与猎物的关系、极其复杂的动态。再比如高速公路上的交通，每辆车只是在优化自己的通行，前面车多就减速，前面空旷就加速，每辆车做的不复杂；但所有车放在一起，就会出现**交通波**（Traffic Waves: 由车辆加减速微小延迟在车流中传递形成的压缩波与扩张波）这样的涌现现象。压缩波和扩张波像弹簧一样传播，在洛杉矶生活的人对此深有体会。有时候你遇到一段拥堵，前面没有任何事故，也没有任何可见原因，那是因为几小时前有过一次减速，而动力学决定了这个压缩波需要一定时间才能消散。如果你真正理解了动力学，你就能建模和模拟，甚至能做出预测。比如给这条高速路再加一条车道，交通会变好吗？有时候反而不会，因为存在一些悖论，关闭某些车道反而能让全局交通流更快。

动力学还研究**平衡态**（Equilibrium: 系统各部分作用力平衡、状态随时间不发生改变的配置）。有些平衡态是稳定的：你把钟摆轻轻拨一下，它会回到原位；但有些平衡态是不稳定的：钟摆倒立着，理论上可以永远保持，但任何微小扰动都会让它偏离。这对我们理解气候变化非常重要。人类在一万年左右的气候接近一个稳定平衡态，变热变冷都会回归，但当前我们可能正危险地偏离这个平衡态，进入一个稳定性远不如从前的动态。

还有一个重大发现叫**混沌**（Chaos: 确定性非线性系统中对初始条件极端敏感的非周期演化行为）。牛顿引入万有引力定律后的一大成功，是解决了二体问题，也就是太阳和地球之间的运动，轨道是完美的椭圆，完美验证了开普勒的理论。但**三体问题**（Three-Body Problem: 求解三个在万有引力相互作用下的天体空间运动轨迹问题），牛顿自己都说这是唯一让他头疼的问题，他始终无法得到精确解，我们到现在也没有。当你看数值模拟时，三体系统常常在一段时间的周期运动后突然改变行为，然后再变。我们甚至怀疑太阳系过去曾有过其他行星，它们大多数时候按椭圆轨道运行，但是偶尔木星和火星的引力扰动会把它们踢出轨道，或者导致碰撞，小行星带可能就是数百万年前一次碰撞的残余。即使是最稳定的系统，也存在长期的微小不稳定性。在动力学最前沿的研究中，即使你从一个完全确定性的系统出发、没有任何不确定性，最好的建模方式反而是用概率来近似它，假定存在一些随机波动，而你的预测会越来越模糊，这似乎是混沌系统的一个根本特征。

### 转化生态：好奇心与不合理有效性

在阐明六大基石后，陶哲轩聊到了数学和科学之间的关系。他把 **STEM** 看作一个完整的生态系统：最底层是基础研究，像数学和一些基础科学，主要由**好奇心驱动**。好奇心驱动指的是你看到某个现象需要解释，它可能不是你当前急需解决的实际问题，但它看起来应该有个有趣的答案。数学几乎完全是这样由好奇心驱动的。在某个时间点，其他科学家可能把某个数学模式和他们正在研究的东西联系起来，比如昆虫群体的行为、股票市场等等；再往下走，一旦你理解了它，就有可能转化为技术或商业产品。但这条管道需要每一环的人都存在：做基础科学的要和应用科学的交流，应用科学的要和工程的交流，工程的要和工业界交流。少了任何一个环节，这条从好奇心到商业成果的管道就断了。

陶哲轩提到了**尤金·维格纳**（Eugene Wigner）的一个著名观点——**数学在物理科学中的不合理的有效性**（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences: 纯数学抽象概念惊人精准契合后续自然界物理规律的著名论题）。维格纳观察到，数学家经常发现一些概念，比如复数和弯曲空间，纯粹是因为它们看起来是已有数学对象的自然延伸；然后十年、二十年、五十年后，科学家发现这些最初为了好玩而引入的概念，恰恰是理解某种新科学所需要的语言。这个现象令人惊叹，我们至今没有一个好的解释来说明为什么会这样。

一个经典的历史案例是**平行公设**的故事。**欧几里得**（Euclid）在公元前三世纪引入了证明的概念，从更简单的公理推导出复杂结论，比如三角形内角和是 180 度。他列出了五条几何公理，前四条都非常直观，比如两点之间总能画一条直线之类；但是第五条平行公设，一直让他很头疼。它的原始版本极其复杂，后来被简化为：过直线外一点，有且只有一条平行线。有了这条公理，你能推导出所有经典欧几里得几何的结论，但问题是它和其他四条相比太不优雅了。几个世纪后人们意识到，实际上存在多种超越欧几里得的几何：比如**球面几何**中没有平行线，大圆总是会相交；**双曲几何**中，线会彼此发散，过一点可以画多条平行线。一旦接受了不只存在一种几何，闸门就打开了，人们开始研究各种弯曲空间。**伯恩哈德·黎曼**（Bernhard Riemann）发展出了描述这些几何的语言，被称为**黎曼几何**（Riemannian Geometry: 研究弯曲流形内蕴度规与曲率性质的微分几何理论）。当时这纯粹是好奇心驱动的抽象研究，我们生活的宇宙看起来完全是平坦的。但后来**爱因斯坦**（Albert Einstein）在试图理解引力时，得出了引力实际上是在弯曲时空的结论；他需要一种语言来描述时空如何弯曲，他问他的数学家朋友有没有现成的数学，结果黎曼几何几乎就是为爱因斯坦方程量身定做的。在黎曼几何中，空间可以有正曲率、负曲率，而爱因斯坦方程在这个语言中变得极其简洁：质量和能量创造曲率。当然，解这些方程是另一回事，即使是模拟两个黑洞碰撞，我们勉强能用现代超级计算机做到。

另一个例子是**球体密堆**（Sphere Packing: 在给定空间中以最高体积密度排列互不重叠等径球体的几何优化问题）。一位英国水手好奇如何最有效地堆放球形炮弹以减少浪费的空间，他问了他的医生朋友，恰好就是开普勒。开普勒提出最高效的堆放方式应该就是超市里堆橙子的那种方式——六边形密堆，效率大约 76%；他认为没有更聪明的办法能塞进更多球，但无法证明，这就是著名的**开普勒猜想**。二维版本在 1900 年左右被证明，但三维版本太复杂了，直到 1998 年才借助计算机给出了第一个证明，这是最早的计算机辅助证明之一。后来在 2014 年，证明被转化为**证明助手**（Proof Assistant: 基于形式化逻辑严格检验数学证明无逻辑漏洞的软件系统）语言，得到了 100% 的形式化验证。数学家还不满足于此，又问了更高维度：四维、五维甚至上千维的密堆问题。当然不存在四维橙子，但这个问题在计算机科学中变得极为实用。当手机信号变为数字信号后，每个信号都是一个比特串，你需要让不同信号在比特串空间中尽可能分离以防止互相干扰，这恰好就是高维离散空间中的球体密堆问题。密堆的数学工具被用来设计高效编码方案，甚至告诉工程师无线频谱的理论通信极限是多少，这直接影响到一个频谱该值多少钱。整个无线通信产业，从某种意义上说，就是建立在往高维空间堆橙子的数学之上的。

### 压缩感知：跨界突破与极简相遇

陶哲轩还分享了他亲身参与的一个故事：**压缩感知**（Compressed Sensing: 突破传统采样定理极限、利用稀疏性高保真重建完整信号的前沿信号处理技术）。他在洛杉矶参加一个跨学科项目时，遇到了一位统计学家和一位电气工程师，他们正在改进医学成像，特别是**核磁共振成像**（MRI）。当时做一次 MRI 扫描需要大约三分钟，因为要从各个角度收集足够的数据来重建图像。如果只扫描半分钟，用当时标准的**最小二乘法**（Least Squares: 通过最小化误差平方和寻找数据最佳函数匹配的数学优化方法）重建，图像会模糊到完全无法用于诊断。他们尝试了一种叫“全变分最小化”的新方法，本来期望得到稍微好一点的图像，结果得到了几乎完美的分辨率，只用了少量测量就恢复了完整图像。这就像给别人一个只填了 10% 字母的填字游戏，对方突然把所有字母都填对了。

陶哲轩的第一反应是他们搞错了，他要证明这是不可能的。但那天晚上他试图写证明时，发现一个步骤走不通，反而证明了在特定条件下这个方法确实能工作！他回去解释了原理，大家兴奋地写了几篇论文。有趣的是，地震学家和天文学家都独立发现过类似的技巧，可以用少量数据恢复高质量信号，但各自以为只适用于自己的领域。一旦找到了底层数学解释，压缩感知就成了一种通用技术，适用于 MRI、无线宽带、传感器网络等，如今已经是教科书里和最小二乘法并列的标准方法。

关于为什么数学对科学如此不合理的有效，陶哲轩给出了自己的理论。他认为，无论学什么，最初的解释往往不是最好的。在完全理解某件事之前，你可能有过于繁复的解释，而真正的解释往往更简洁、更优雅。但找到那个简洁的解释需要时间，因为你得先忘掉某些后来证明是错误的假设。比如爱因斯坦相对论的一个关键前提就是：人们之前默认时间是普世的，你的一秒和我的一秒一样，这个思维定势阻挡了找到正确引力理论的路。数学家也在做类似的事情：把用低效语言理解的现象，浓缩为最简洁优雅的表达。因为简洁的表达方式数量有限，所以数学中的简洁描述恰好也是物理现象的简洁描述，这或许解释了那种不合理的有效性。当然他承认，我们只有一条科学史的时间线，也许未来遇到外星文明时，能看看他们的科学史是否走了相似的路径。

### 探索负空间：打破天才神话的试错长征

说到做数学研究的感觉，陶哲轩说，人们总有一种刻板印象，觉得数学家都是天才，卡在一个问题上然后突然灵光一现。他说他很希望这种事发生在自己身上，但实际上从未发生过。

真实的过程是：尝试一种方法不成功，换一种有点用，但是卡在某个点，至少你知道障碍在哪了；然后找一个具有类似困难、但是更简单的子问题先解决，再试图升级回原问题。你不断探索的是问题的**负空间**（Negative Space: 问题周围所有行不通的死路与错误假设构成的认知边界），也就是所有那些行不通的方法。最终，当你对足够多的“行不通”有了理解，前进的路就变得清晰，几乎像是排除法的结果。这时候答案对你来说已经很自然了——你当然要走这一步，但是因为前面有这个坑，所以你得先做那个准备。他说自己从未有过尤里卡时刻，反而总是觉得：“我怎么这么笨，这么早就没看出来？”

### 人机协同：科研重塑与速度盲区

访谈的最后一部分，陶哲轩谈到了 AI 如何正在改变数学和科学。他先梳理了科学研究方式的演变：传统上科学有两大范式，理论和实验，数学基本纯理论，实验很少；后来出现了模拟，你不用在现实中跑实验，可以在超级计算机上模拟一场飓风；再后来是大数据，你不再只做少量实验来验证一个理论，而是从海量数据中提取模式和规律。现在所有这些范式都在被 AI 改变。过去每一种方式都需要人类科学家亲力亲为，而现在我们有了自动化实验室、能跑模拟的编程代理、自动化的数据分析，甚至开始出现自动化的理论推导。

但陶哲轩提出了一个重要的担忧：**速度并不等于一切**。一个花几个小时用纸笔推演的科学家，和一个在田野里亲手做实验的科学家，他们在过程中获得的不只是答案。他们可能会发现新的现象，看到和文献中其他研究的联系，理解为什么这个发现有趣。而 AI 虽然能更快地产出结果，但可能没有任何人类科学家因此变得更聪明。他用了一个很精妙的比喻：科学有点像徒步旅行，你听说远处有个漂亮的瀑布，你和朋友一起去找它；你可能会迷路，但迷路的过程中你发现了别的有趣的东西，也许看到了远处一个更壮观的瀑布，虽然你现在到不了，但也许未来的徒步者能找到路。而 AI 工具就像一架直升机，直接把你送到瀑布跟前，看完再飞回来；你达到了目标，但你什么也没学到。

然后他解释了机器学习和大语言模型的基本原理。机器学习最简单的例子是**回归**（Regression: 确定变量之间相互依赖统计关系的分析方法），你观察给动物喂多少食物和它们体重的关系，在图上画出来，如果幸运的话数据会拟合成一条线，你就能预测。现实中的输入输出往往非常多维，而且关系复杂，但数据有时候有形状，我们有各种方法去拟合曲线。**大语言模型**（Large Language Model: 基于海量文本与高参数量神经网络训练的现代AI系统）做的事情，本质上就是猜句子里的下一个词：你输入“玫瑰是红的，紫罗兰是……”，模型会猜“蓝的”。想象一个巨大空间里所有不完整的句子都是输入，正确的词都是输出，你要在这个高维空间里拟合一组曲线。如果在手机上反复按自动补全，你只会得到一堆乱码；但如果你用足够多的数据去训练，花费数月时间和数百万美元的算力，神奇的事情发生了，即使你反复迭代，它也能保持连贯，听起来像人在说话。我们自己也不完全理解为什么，似乎是因为语言中隐藏着大量我们不曾意识到的模式；人类儿童虽然没有被教名词动词的概念，也能学会语序，而模型通过持续接触语言，也能习得这些模式。它们能回答数学题，能逐步检查自己的工作，能变得越来越聪明；但本质上它们只是在猜下一个词，并不真正理解现实世界，它们只是把语言中的模式吸收得足够好，能模仿智能行为到足以让我们觉得有用。

陶哲轩发现，AI 和人类专家在问题解决上是互补的：人类专家的优势在深度，一个数学家会从数千个问题中挑选一两个认为有价值的集中攻克；而 AI 的优势在广度，你给它一千个各种难度的问题，其中一些在现有方法的可达范围内，只是没有足够的人类专家去看每一个，AI 会用有根据的猜测去尝试各种技术组合，大部分可能不行，但偶尔能抓住人类遗漏的解，有时候甚至能颠覆专家的共识——所有人都以为某个问题有肯定答案，但其实是否定的，只是大家没怎么看过否定的情形，AI 偶尔扮演了一双独立的眼睛。他指出我们可能会用一维的方式来讨论 AI 的角色（包括容易的、难的、更难的），但真实的图景是互补的：人类在深度上胜出，AI 在广度上胜出。

### 深层危机：证明消化不良与下一代断层

他还用开普勒的故事说明了另一个重要观点。开普勒最初的理论，是把太阳系的六颗行星和五个正多面体联系起来，这是一个很美的几何想法；但当他拿到**第谷·布拉赫**（Tycho Brahe）的高质量观测数据后，发现数据并不拟合，他花了很多年才最终放弃了圆形轨道的假设，转而发现椭圆轨道才完美拟合。这个故事说明，你不能总是即时获得反馈来判断一个科学问题是否解决。如果开普勒和**哥白尼**（Copernicus）有 AI，让 AI 预测宇宙模型，也许 AI 给出的日心说模型一开始会被否决，因为当时它的预测精度还不如地心说模型。科学需要时间来消化所有理论。另一个风险是 AI 可能**过度拟合**（Overfitting: 机器学习模型对训练数据过度匹配从而丧失泛化预测能力的缺陷），创造出一个极其复杂、完美拟合现有数据但是和真实规律无关的模型。

关于 AI 在数学研究中的现状，陶哲轩描述了证明的生命周期：
* 首先要**生成证明**；
* 然后要**验证**；
* 再写成可读的论文让同行接受；
* 最后消化成教科书教给学生。

AI 正在加速前期阶段（也就是生成和验证），但是后期阶段仍然需要人类。他说数学界正在经历一种“**证明消化不良**”的症状——突然涌出大量待理解的解决方案，远超人类消化的速度。以前一个重大问题的解法出来，所有专家都会放下手头工作去读，因为太稀缺太珍贵；现在不行了，他坦承自己已经无法跟上领域的所有最新发展。

AI 在数学上的能力也在快速进步：四年前能解中学数学题，然后是高中、高中奥赛级别，再到研究生资格考试级别；最近开始解决一些研究者真正努力尝试过但未果的问题，这让一直跟踪发展的人感到振奋，但让突然看到结果的同事感到震惊。不过陶哲轩也保持了审慎的态度：很多成就来自私人公司，他们不披露花了多少资源、成功率多少。最新的测试中，最好的模型在 10 道研究级问题上能解出五到六道，这已经令人印象深刻。

关于 AI 与人类的协作，陶哲轩说自己其实不太用 AI 来解核心问题，更多用在文献检索、校验证明、写代码、审阅文稿这类次要任务上。他和 AI 交互的节奏，目前还无法像和人类长期合作者那样——你能和一个老搭档心意相通，一句话没说完对方就接上了，AI 还做不到这种程度，但是也许未来会。

访谈的最后，陶哲轩表达了一些深层的担忧：我们正处于一个有风险的时间点，AI 工具让我们以更快的速度产出科学成果，但可能是**以牺牲培养下一代科学家为代价的**。研究生们本来通过做那些入门级研究项目来获得训练和经验，而这些恰好是 AI 现在能复制的论文类型；如果我们用 AI 替代了这些训练项目，就得不到下一代学者；而如果不持续消化 AI 的产出，来构建下一代知识基础，我们可能在技术上优化了一切当前能力，却不再产生真正原创的新想法。他说我们需要更开放地讨论基础科学到底是什么、有什么用、为什么仍然需要好奇心驱动的研究，以及为什么仍然需要人类社群去慢慢探索。他还认为科学界应该向公众做更多普及，让更多人理解数学和科学不仅产出手机和 GPS，更能让你的思维更清晰、让这个复杂的世界变得不那么令人焦虑。

陶哲轩的这场访谈，从数学最基础的六个概念出发，一路延伸到数学和科学之间那种令人困惑的深层联系，再到 AI 正在怎样重塑整个知识生产体系。有一个细节特别值得回味：他说自己从未有过尤里卡时刻，真正的突破来自反复试错和对行不通的理解，这和我们通常对天才的想象很不一样；而面对 AI 带来的效率飞跃，他既不盲目乐观也不一味悲观，他真正担心的是，如果我们只盯着产出而忽视了过程，忽视了在缓慢探索中成长起来的那一代人和那些意外的发现，科学可能会在看似高效的表象下悄悄停滞。感谢收看，我们下期再见。