宇宙深处的数学奇迹：不合理有效性的终极困惑
大家好，欢迎收看大问题节目。本期要探讨的大问题是：我们所生活的这个世界，有一个近乎恐怖的神奇现象，那就是所有的物理学规律，竟然都完美地符合数学！这并不是夸张，而是科学史上反复上演的真实神话。
让我们把目光投向1846年的法国。当时的天文学家勒维耶（Urbain Le Verrier）并没有手持望远镜夜以继日地观测天空，他只是安安静静地坐在书桌前，用最普通的纸和笔，计算着天王星运行轨道的异常偏差。在排除了所有已知天体的引力干扰后，他运用严密的数学公式推导出了一个结论，并给柏林天文台写了一封信，信中写道：“请把望远镜对准这个特定的坐标，那里存在着一颗人类从未观测到的未知行星。”
就在收到信件的那天晚上，天文台的天文学家抬起望远镜，对准了勒维耶指定的方位。奇迹发生了——就在误差不到1度的位置，他们发现了一颗崭新的蓝色行星，这就是海王星。
这难道不令人感到诡异和一丝丝的惊悚吗？一个物理学家躲在自己阴暗的小黑屋里，仅仅通过算术、代数和微积分的推演，就能够精准地预测外太空深处庞大星体的运动轨迹。
我们要知道，迄今为止，几乎所有的物理学理论都可以神奇地写成简明而优美的数学公式。哪怕是目前在物理解释上依然让无数科学家感到困惑、甚至无法用直觉去理解的量子力学（Quantum Mechanics: 研究微观粒子运动规律的物理学分支），也能够被精确地写成薛定谔方程（Schrödinger Equation: 描述微观物理系统量子态随时间演化的偏微分方程）。
这究竟是为什么？没有任何先验的道理要求宇宙的运行、物质的演化、星系的运转，必须要听命于人类大脑逻辑推演出来的数学符号。然而，它们就是能够完美地符合。
1960年，著名物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）发表了一篇具有里程碑意义的论文，提出了著名的数学在自然科学中不合理的有效性（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences: 数学在描述物理世界时所展现出的超出预期的精确性与预测能力）问题。维格纳由衷地感叹道：“数学在自然科学中的不合理有效性是某种近乎神秘的事情，对此并没有合理的解释。”
无独有偶，物理学泰斗阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）也曾发出过一个著名的终极困惑，那就是：“数学作为独立于经验的人类思想的产物，为何能如此出色地契合物理实在中的对象？”
在爱因斯坦看来，数学是人类心灵的纯粹理性自由创造的产物，是一门彻底与经验无关的概念游戏。然而，这个在思维内部构建的概念游戏得出的结论，却总能惊人地精确预言经验世界中的星体运行、光线弯曲、时空波动。这种人类先天的概念创造与后天客观的物理实在之间所达成的神秘吻合，是一个无法解释的奇迹，这让爱因斯坦终生为之着迷。
难不成，真如现代科学之父伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）所宣称的那样——“宇宙这本大书就是用数学语言写成的”？
作为一个生活在现代社会的理性人，我们大多数人都是坚定的唯物主义者。在我们的常识中，只有那些看得见、摸得着、由分子和原子构成的物质世界才是真实存在的。而那些存在于我们心灵内部的概念，比如孙悟空、哈利·波特、独角兽等，都不过是人类的主观杜撰和文化发明，是虚无缥缈的幻影。
但是，一旦我们碰到了数学，我们作为坚定的唯物主义战士的信念可能就要发生动摇了。
你当然可以说“孙悟空”是人类写小说的产物，是发明出来的。但你能理直气壮地说“数字2”或者“勾股定理”也是人类任意发明出来的吗？
如果明天地质灾害爆发，或者一颗巨大的小行星撞击地球导致人类彻底灭绝，那么“孙悟空”这个形象确实可能就从此在宇宙中消失了，因为没有了人类的心灵作为载体。但是，“质数有无穷多个”这个数学事实，难道也会跟着人类的灭绝而消失吗？
退一步讲，如果有一天我们在遥远的半人马座发现了高度发达的外星文明，难道在外星人的科学体系里，2+3就不等于5了吗？难道在他们的几何学里，直角三角形的三边关系就不符合勾股定理了吗？
所以，让我们回到这个直击灵魂的大问题：数学对象是真实存在的吗？
既然我们都承认物理对象是真实存在的，那么，既然物理和数学之间能够达成如此完美、精确且契合一致的共鸣，那么虽然数学对象看不见、摸得着，它是不是在某种更深刻的层面上也是真实存在的？
这就是本期节目我们要探讨的——数学哲学（Philosophy of Mathematics: 研究数学的哲学地位、本质、对象以及数学知识可能性基础的哲学分支）的经典大问题。这个问题同时也可以转化为这么一个终极追问，那就是：是物理是第一性的，还是数学是第一性的？
既然物理世界和数学世界如此完美地契合一致，那究竟是物理决定了数学，还是数学决定了物理呢？
关于这个宏大的问题，本期节目将会分享三个经典的数学哲学的派别：
第一个派别是柏拉图主义（Platonism），这是坚定的“存在派”。他们是坚定的数学神教的信徒，认为数学是宇宙终极的理念，我们所处的物理世界不过是数学世界的投影。
第二个派别是虚构主义（Fictionalism），这是硬核的“故事派”。他们是极度硬核的唯物主义战士，认为数学不过是人类编写的一部极度严密的科幻小说，“2+3=5”和“哈利·波特能骑扫帚飞行”本质上都是一种虚构的故事。
第三个派别是结构主义（Structuralism），这是理性的“关系派”。他们站出来打圆场，认为前两派都走偏了！数学研究的既不是某些神秘的超时空实体对象，也不是虚构的谎言，而是可以由不同对象共同实现的关系结构。
当然，数学本身就已经足够抽象了，哲学更是出了名的晦涩难懂，那这门“数学哲学”就属于是抽象的二次方了。那在本期节目中，我会尽量通过打比方、讲段子的方式让大家能够听懂，也会用一些虽然在学术上不是非常严丝合缝、但大家在中学课本里都很熟悉的词，比如什么“唯物主义”、“唯心主义”、“客观唯心主义”等。用这些词来讲解，剧情和画面感就熟悉起来了，大家的九年义务制教育也不能白上。
只要你能够耐心地从头到尾看完本期节目，相信你对数学的本质是什么，以及数学与自然科学之间的深层物理关系，会有更加震撼和深入的理解。
好，废话不多说，接下来我们有请数学哲学的第一个派别——柏拉图主义，隆重登场！
超时空的精神理念：柏拉图主义与完美的圆
所谓的柏拉图主义，也就是一种数学实在论（Mathematical Realism: 主张数学对象如数、集合、函数等是客观存在实体，其属性独立于人类语言和思维的学说）。简单来说，就是认为数学对象是实实在在地真实存在的。这种数学实在论在哲学史也被称为共相实在论（Realism of Universals: 认为普遍的抽象概念或共相具有独立于个别事物的客观实在性）。“共相”就是指抽象的概念，而数就是最典型的抽象概念。
那顾名思义，这个所谓的“柏拉图主义”，它的始祖和核心代表人物就是古希腊的伟大哲学家柏拉图（Plato）。
传说柏拉图在雅典创办了自己的学校——雅典学园。学校的大门口赫然挂了一块醒目的牌子，上面写着“不懂几何学者不得入内”。当然，现代的历史学家考证说这可能是后人为了神化他而杜撰的故事，但是能够把这样一个尊崇数学的故事安在柏拉图身上，也足见柏拉图哲学对于数学的重视程度是无以复加的。
在柏拉图看来，数学对象是先于、独立于并且完全超越于这个物质物理世界的精神理念。
为什么他会得出如此震撼的结论呢？我们可以做一个非常简单的思维实验。你可以尝试在白纸上画一个圆，无论你画得多么认真、多么仔细，哪怕你是拿最精密的专业圆规去画，但只要把纸张放在高倍显微镜下不断放大，你总会发现令人失望的细节：线条边缘坑坑洼洼、并不光滑；线条有粗有细；圆周上的每一个点，也不可能与圆心保持绝对相等、毫无误差的距离。
在现实的物理世界中，其实根本没有真正完美的圆。车轮不是完美的圆，硬币不是完美的圆，太阳和月亮也不是完美的圆，它们都充满了物质分子的涨落和微小的几何瑕疵。
可是，奇妙的地方就在这里：当一个人在黑板上画出一个歪歪扭扭的圆的时候，我们每一个正常人却能够立刻判断出：“这个圆画得不够圆，它存在欠缺。”
那问题就来了：既然我们人类的肉眼在一生之中，从来没有在物理世界里看见过一个完美的圆，我们又凭什么能够知道眼前的这个圆不够圆呢？我们的判断标准是从哪里来的呢？
柏拉图在著名的对话录《斐多篇》（Phaedo）中讨论“相等”这个概念的时候，就借由苏格拉底之口提出过非常类似的问题。
对话录的主人公苏格拉底让他的弟子西米亚斯去想象两根看起来相等的木棍，或者两块看起来相等的石头。它们在肉眼看去时，好像确实是一模一样、完全相等的。但只要更换观测角度，或者使用更精密的测量工具去称重或度量，它们就会显得不再完全相等。
世界上其实并没有真真正正“相等”的两个物体，它们总会存在微小的误差。我们都听过达芬奇画鸡蛋的故事，世界上没有两颗完全相同的鸡蛋，哪怕你的手稳如达芬奇，你也无法在物理上创造出完全相等的两颗鸡蛋。
那苏格拉底就追问了：这些现实物理世界中的、具体的、看起来相等的东西，是不是总在努力地接近“相等本身”，却又因为物质的局限性而总是有所欠缺？而我们作为人类，之所以能够一眼看出这种不完美的“欠缺”，这就意味着，在我们的思想和灵魂深处，早就已经先天地具有了一个比任何具体经验事物都更加精确的精神性的标准。
这就是柏拉图提出的著名的理念论（Theory of Ideas / Forms: 认为感官世界之上的抽象理念才是真理的源泉，感官世界只是对理念世界的模仿）。
也就是说，我们的感官能感知到的经验世界中的事物，永远是具体的、变化的、不完善的。但是，我们的理智却能够跨越感觉的迷雾，把握某些普遍的、稳定的、不随具体事物消亡而变化的抽象对象。这就是精神性的理念。
我们可以用“两个世界”来形象地概括柏拉图的这套宏大世界图景：
一个世界是我们通过感官接触的世界，也就是我们看得见、摸得着的经验世界。这里有具体的人、高大的树木、木制的桌子、粗糙的石头，也有我们画在纸上的圆形和三角形。这个经验世界中的事物总是变动不居的，它们会产生、会成长、会衰老、最终会腐烂和消失。赫拉克利特说“人不能两次踏进同一条河流”，说的就是经验世界的流动性。柏拉图因此认为，感官世界是意见的对象，它充满幻象，很难为我们提供完全稳定、必然的真理知识。
而另一个世界，则是只能通过纯粹理智把握的理念世界。这里所说的理念，并不是指人类大脑中对许多个别具体事物进行主观概括后所形成的想法，而是指客观存在的、普遍的、不随具体事物变化而变化的抽象实体。
具体的美丽事物会随着时间流逝而失去美丽，但“美本身”这个理念却永远不会衰老；现实中两个具体的物体只能近似相等，但“相等本身”这个理念却始终与自身相等；我们在黑板上画出的圆都有几何误差，但“圆”的数学理念——也就是“在平面内与一个定点等距离的所有点的集合”——这个定义本身，却是绝对精确、完美且永恒的。
在柏拉图的形而上学体系里，这些不能直接由感官把握、而只能通过纯粹理智认识的客观抽象对象，就是“理念”或者叫做“形式”。
当然，柏拉图的“两个世界”并不是说宇宙中真的有两个彼此隔绝的物理空间，好像理念世界是悬浮在天上的某个仙境。这是柏拉图的一种形而上学主张，关于这个世界本质的断言。这个世界的本质是客观的、普遍的、抽象的精神性理念。因此，在我们的教科书上，柏拉图的哲学往往被归类为典型的“客观唯心主义”。现实的物质世界中的具象事物，只不过是对理念世界中完美理念的不完美投射、模仿和分有。
必然的数学定理与莱布尼茨的微积分之谜
在理解了柏拉图的理念论之后，我们再来看他的数学哲学，一切就变得顺理成章、非常好理解了。
在柏拉图看来，数学对象就是理念世界中的核心理念。在《理想国》（The Republic）中，柏拉图就提到，数学家虽然在研究时需要借助纸上画出来的具体几何图形开始思考，但数学家真正研究的并不是这些会磨损、会变形、会随着纸张泛黄而消失的物理墨迹，而是数字2、完美的圆、直角三角形这些纯粹的理念。
我们的肉眼看到的，是讲台上两只具体的玻璃杯；而理智却能够越过杯子的具象颜色、容积、材质，直接思考抽象的数字2本身。我们借助可见的具象图形，能够引导灵魂将思想指向那些只能由理智把握的高阶对象。
这就是为什么，数学老师在黑板上用粗糙的粉笔画了一个不太精确的三角形，并不会影响他在逻辑上证明出严密的几何定理。没有一个调皮的学生会举手说：“老师，你左边那条线画得有点歪，所以你刚才证明的这个数学定理，在我们这间教室里只具有大约百分之九十八的准确率。”
不会的，因为所有人都心知肚明，几何学研究的并不是黑板上那三条抖动的粉笔印。粉笔图形只是一个视觉辅助工具，数学研究的是不具有颜色、不具有重量、也不会随着黑板被擦拭而损坏的几何学理念。
数学证明告诉我们的，从来不是“根据我目前的观察，情况似乎如此”；数学证明给出的是：“事情在逻辑上必然如此，且永远如此。”
这也解释了为什么数学知识能够具有一种超越经验的独特神圣性。我们不需要去测量世界上所有的物理正方形，才能证明一个关于正方形的几何定理；我们也不需要检查自然数序列中的每一个数字，才能证明不存在最大的质数。
这里我们就可以清晰地看出数学和自然科学之间的鸿沟了：
自然科学——无论是物理学、化学还是生物学——研究的都是变动不居的经验世界。因此，自然科学的知识永远是归纳性的，是具有或然率的。自然科学的理论是必须随时接受实验证据检验的，因而它就永远保留了被未来新的实验证据所推翻的可能性。即便是牛顿的经典力学，在面对接近光速的极端微观或宏观运动时，也会被爱因斯坦的相对论所修正。
而数学研究的是理念世界中的永恒理念。数学家不需要在实验室里做物理实验，数学知识只要在逻辑体系内没有矛盾，它就是必然的真理。
大家要知道，科学史上，哪怕是诺贝尔物理学奖、化学奖或生理学与医学奖，历史上都曾颁发给过一些后来被证明是不完善、甚至是错误的学说。但是数学界最顶尖的菲尔兹奖或者阿贝尔奖是绝对不会出现这种情况的。你只要在逻辑上无懈可击地证明了一个数学定理，只要其他数学家验证其中没有逻辑漏洞，这个数学真理就永远不会被推翻，它将与宇宙同寿。
讲到这里，我们可以为柏拉图主义在数学哲学上的基本主张做几点清晰的提炼：
- 第一，数学对象是真实存在的：数学对象是一种抽象的理念，像“数字2”和“直角三角形”并不是人类心灵发明出来的符号标记，也不是一种随意的游戏规则，它们是实实在在地存在的客观实体。
- 第二，数学对象独立于人类的心灵：即使人类从来没有在地球上诞生过，或者人类在明天彻底灭绝，像“质数有无穷多个”、“2+3=5”这样的数学事实仍然铁一般地存在于理念宇宙中。
- 第三，数学对象是超时空的：它们不存在于我们看得见、摸得着的物理空间和时间流里，它们没有重量、没有大小、不占空间，它们存在于一个超时空的抽象世界中。
- 第四，数学对象是被人类发现的，而非被发明出来的：微积分这样的数学理论，并不会因为牛顿在17世纪提出来了，才被无中生有地创造出来。它本来就一直存在于抽象的理念世界中，只不过牛顿通过理智将其“发现”并表述了出来。
这也非常完美地解释了科学史上的一大奇观：为什么牛顿和莱布尼茨在彼此没有学术交流的前提下，竟然能够在相近的时间里，独立“发明”了微积分？而且他们两个各自写出的微积分版本，在逻辑和数学本质上是完全等价的。
柏拉图主义者会微微一笑说：“这有什么好奇怪的？因为微积分真理早就存在于理念世界里了。牛顿和莱布尼茨不过是两个同时爬上了理性高峰的旅人，伸手摘下了同一颗挂在天上的永恒果实罢了。”
数学宇宙假说与贝纳塞拉夫认识论难题的困境
你别看柏拉图主义是两千多年前的古希腊哲学家柏拉图提出来的，直到今天，在科学界最前沿，它依然受到很多当代顶尖物理学家和数学家的疯狂追捧。
比如2020年诺贝尔物理学奖得主、当代最伟大的数学物理学家之一罗杰·彭罗斯（Roger Penrose），就是一个非常坚定的柏拉图主义拥护者。
彭罗斯认为，我们身处的物理世界之所以表现出如此美妙的规律性，是因为它仅仅是庞大无比的柏拉图数学世界的一个“极其微小的局部投影”。数学世界要远远大于物理宇宙实际使用到的那一小部分数学。那些至今仍然锁在数学家草稿纸上、还没有任何物理应用的超前数学，仍然具有独立的客观實在性。
甚至彭罗斯为了解释人类是如何感知到这个超时空的数学真理的，他还提出了一套假说，认为人类大脑新皮层神经元微管中存在着非计算的量子效应，这种效应让我们的大脑与柏拉图世界产生某种奇妙的量子共鸣。这听起来非常具有科幻色彩，简直是“遇事不决、量子力学”版本的灵魂回忆说了。
而另一位理论物理学家、麻省理工学院教授马克斯·泰格马克（Max Tegmark），则提出了一个更为激进、令人目瞪口呆的柏拉图主义变体——数学宇宙假说（Mathematical Universe Hypothesis: 主张物理实在不仅被数学描述，而且物理实在本身就是一个数学结构）。
通常人们认为，客观世界是由物质性的基本粒子（如夸克、电子）以及各种物理场构成的，这些实体恰好符合了某种数学方程的描述，所以数学成了好用的工具。但泰格马克直接把这个常识推翻了。他认为，世界并不是对应了数学结构，而是物理世界本身在本质上就是数学结构！
我们人类平时所说的粒子、场、电荷、时空弯曲，其实只是处于宇宙内部的观察者，对这个巨大抽象数学结构的局部特征所起的“经验名称”。如果从一个完全不带任何人类感官标签的绝对外部视角来看，所谓的物理实在，就是一个纯粹的、无色无味的抽象数学结构。在泰格马克的眼里，物理世界与数学世界已经不是投影与被投影的关系了，它们在根本上彻底合二为一了！
介绍完这些精彩的柏拉图主义观点，我们也不得不面对当代哲学界对这一流派所提出的致命批评和强烈质疑。
这些质疑非常直观：既然柏拉图主义的一个最核心前提是——数学对象是独立于时空的、不在物理世界之内的抽象实体。那么，问题就来了：
我们人类，作为由血肉之躯和神经元构成的物理世界里的三维生物，究竟是通过什么途径，去“认识”和“接触”到那些超时空的数学对象的呢？
在日常经验中，我们人的眼睛是通过接收反射的光子来看见物体的；耳朵是通过接收空气中的声波机械振动来听见声音的；手指的大脑皮层是通过触觉神经末梢的微电信号来处理空间信息的。可是，抽象的数字“2”不会反射光子，无限的“集合”不会发出任何声波，几何学的“点线面”更不会物理性地撞击我们的神经元。
如果数学对象完全不在时间里，不在空间中，也不与我们的身体发生任何物理上的因果相互作用，那么，我们这一颗纯粹由物理分子构成、待在三维时空内的大脑，究竟凭什么能够如此确凿地认识它们，并说出“2+3=5”是绝对真理呢？
这就是著名的贝纳塞拉夫认识论难题（Benacerraf's Epistemological Problem: 挑战实在论者如何解释人类作为物理生物能获得关于时空外抽象数学对象的知识）。
这个难题是由著名数学哲学家保罗·贝纳塞拉夫在1973年发表的经典论文《数学真理》中提出来的。这个难题像一把利刃，直插柏拉图主义的心脏：如果数学对象在时空之外，人类大脑就无法与它们发生因果接触；如果我们无法接触它们，那我们的数学知识就成了一场不可思议的神秘主义奇迹。
其实，对于这个贝纳塞拉夫认识论难题，柏拉图本人在两千多年前就已经给出了他的答案。只是一般现代人听起来，会觉得这个答案充满了玄学和神话色彩，有点难以接受。
柏拉图给出的，就是他那套著名的灵魂回忆说（Theory of Reminiscence: 主张认识本质上是灵魂对前世所见理念世界永恒真理的回忆）。
柏拉图解释说，身处感官世界的凡人之所以能够认识超时空的数学理念，是因为我们的灵魂也是一种精神性的、超时空的东西。而且，灵魂是不朽的，它在投胎进入肉身、被物质禁锢之前，自由地翱翔在理念世界里，早就已经见过了那些真实存在的完美理念，包括数、几何比例以及永恒的美与正义。
当我们出生、灵魂被沉重的肉体凡胎遮蔽之后，我们暂时忘记了这些真理。而我们在世俗中所经历的“学习”和“研究”，本质上并不是获取某种外界的全新知识，而是借助经验世界里的图形、事物和对话，来重新唤醒我们灵魂深处被尘封的记忆。
因此，我们之所以能够理解正方形的几何定理，不是因为我们在现实中创造了它，而是因为粗糙的粉笔画勾起了灵魂前世的记忆，让我们重新“回忆”起了那个完美无瑕的理念世界。
这个解释确实非常优美，极具诗意。但对于生活在21世纪、接受过现代科学熏陶的我们来说，这套又是灵魂不朽、又是轮回转世的设定，听起来总觉得有些怪怪的，它预设了过强的、在现代人看来无法被实证的唯心主义前提。
那有没有可能，我们既不需要去预设柏拉图那套玄之又玄的理念天国与灵魂转世，又能够维护数学对象的真实客观性呢？我们能不能站在现代人普遍接受的经验主义立场上，给柏拉图主义找到一条新的出路？
这，就是20世纪美国最伟大的哲学家之一威拉德·冯·奥曼·蒯因（W.V.O. Quine）所要尝试完成的宏大工作了。
不可或缺性论证：蒯因的本体论承诺
蒯因所要做的工作，就是在不引入任何唯心主义玄学假设的前提下，纯粹站在一个自然主义和经验主义的立场上，来回应贝纳塞拉夫认识论难题，为数学的真实性正名。
蒯因的推论逻辑逻辑非常硬核：哪怕你是一个最极端的、只相信原子和物理定律的唯物主义战士，你总得承认这个现实的物理世界是真实存在的吧？你总得相信现代物理学告诉我们的科学真理吧？
只要你承认物理世界是真实的，科学是可靠的，那么你其实就已经在逻辑上无法拒绝数学的真实存在了。
为什么呢？因为现代科学的发展是一分一秒都离不开数学的。数学并不是物理学在表述时可有可无的装饰品，而是深深地参与了整套科学理论对经验世界的解释与预测。
爱因斯坦建立广义相对论，如果没有微分几何和张量分析，他甚至无法写出引力场方程；物理学家研究量子力学，如果没有复数、线性算子和希尔伯特空间，微观粒子的波函数根本无法被描述。数学语言已经彻底融入了物理学理论的血肉之中。
如果没有数学，物理学将无法精确表达任何一条物理定律；如果没有数学，现代物理大厦将在瞬间崩塌，物理世界将重新变成一团混乱、无法理解的混沌。
这就是蒯因与希拉里·普特南共同提出的著名的不可或缺性论证（Indispensability Argument: 主张既然数学对我们最好的科学理论是不可或缺的，我们就应该承认数学对象的存在）。
既然我们必须相信科学，相信科学所揭示的物理实在，那么对于解释这个物理实在所不可或缺的数学工具，我们也必须承认它是真实存在的。
为了让这个论证在逻辑上更加严密，蒯因动用了他著名的本体论承诺（Ontological Commitment: 一个理论在逻辑上所必须承诺存在的实体的总和）理论。蒯因曾写过一句非常经典、但初看有些晦涩的哲学名言：“存在就是成为约束变量的值（To be is to be a value of a variable）。”
这句听起来极度抽象的话，翻译成我们日常的白话其实非常直接：
如果你想知道一个科学理论到底承诺了什么东西的存在，最靠谱的方法就是把这个理论翻译成最严密、最标准的符号逻辑语言。然后，去寻找这个逻辑表达式里，所有使用了“存在某个x（$\exists x$）”的句子。看看为了让这整套科学理论能够说得通、能够成立，这个变量x里，必须填入什么样的事物。这个理论不得不承认存在的那个x，就是它给出的本体论承诺。
比如说，物理学中有一条非常基础的定律陈述：“存在一个实数m，它是这个特定电子的静止质量。”
蒯因会拍着桌子说：“你看！你在表述物理事实的时候，逻辑公式里明确使用了‘存在一个实数m’。如果你承认这个关于电子质量的物理学定理是真的，那你在逻辑上就不得不做出了本体论承诺——你承诺了‘实数’这种抽象的数学对象是真实存在的。你不能一边享受着物理学带来的科技便利，一边在哲学上赖账，硬说实数根本不存在。这叫本体论的非双重标准。”
大家在这里需要非常敏锐地注意一点：蒯因的不可或缺性论证，并不是在肤浅地争辩“因为数学对物理学很有用，所以数学存在”。
在日常生活中，很多东西都很有用。比如一张精美的北京市交通地图很有用，但我们不会因此相信地图上画着的那些五颜六色的地铁线路本身是自然界真实存在的地理边界；小说的比喻和虚构的故事在心理治疗中也很有用，但我们不会因此认为童话里的人物是物理实体。哪怕没有地图，北京这座城市依然存在，我们依然能够通过双腿找到目的地。地图只是一个方便的辅助。
但蒯因的主张要深刻得多：数学对于物理学，绝对不是“方便”和“有用”那么简单，而是“不可或缺”。离开数学，物理学将不复存在，我们将无法对宇宙进行任何有意义的理性解释。因此，决定我们是否应该相信数学对象真实存在的唯一标准，就是看它是否属于我们解释这个世界时，所无法绕过的、最核心的理智框架。
蒯因用这种经验主义和整体论的策略，非常巧妙地绕过了柏拉图式的神秘主义。他不需要你相信什么不朽的灵魂，也不需要你相信超时空虚无飘渺的理念天国。只要你是一个相信物理科学的现代人，你就必须打包接受数学对象的真实存在。
然而，蒯因的这条道路虽然走通了，但很快也有哲学家指出了其中隐藏的软肋。
蒯因虽然通过物理学的科学地位“顺带”证明了数学的客观性，但他其实并没有直接回答贝纳塞拉夫难题。你蒯因还是没有解释清楚，我们人类的大脑究竟是怎么直接和数字发生接触的。你只是通过物理学的逻辑大厦，在哲学上强行做了一个“本体论承诺”，把数学对象的真实性给“套现”了出来。
这就好比你骄傲地向朋友宣称：“我已经找到了我的梦中情人，她绝对是真实存在的！”朋友好奇地问：“你在哪里见到她的？能带我认识一下吗？”你回答说：“我没见过她。但是她住在北京，而我已经开车沿着北京五环路跑了一整圈了。既然五环路是存在的，北京是存在的，那我就可以逻辑承诺她也是真实存在的。”
朋友一定会觉得你在自我欺骗。你想证明你的梦中情人存在，你起码得带她出来，在咖啡馆里和大家喝杯咖啡、见个面，建立直接的接触。
在经验主义的原则里，最核心的信条是“眼见为实”——你必须展示出我们如何直接“经验”到数学对象。而蒯因的承诺方式，显然还不够直接。
为了解决这个尴尬的局面，另一位杰出的女哲学家佩内洛普·麦蒂（Penelope Maddy）闪亮登场。她决定采取一种更加彻底、甚至有些惊世骇俗的经验主义立场：
谁说我们没有直接见过数学对象？我们人类在日常生活中，其实时时刻刻都在用肉眼直接“看”到数学对象！
自然化的实在论：麦蒂的“集合探测器”
佩内洛普·麦蒂所主张的，被称为自然化的柏拉图主义（Naturalized Platonism: 结合物理科学与演化心理学，主张某些简单数学对象可以直接被人类感知的实在论变体）。她试图在经验主义的底盘上，正面击碎贝纳塞拉夫认识论难题。
麦蒂指出，数学对象根本没有像传统柏拉图主义所说的那样，躲在宇宙尽头那个冷冰冰的超时空理念世界里。很多基础的数学对象，其实就大踏步地存在于我们的日常物理生活之中。
当你下班回家打开冰箱，看到蛋盒里静静躺着三颗鸡蛋时，你以为你只看到了“鸡蛋”吗？麦蒂说，不对，在你的视觉经验中，你不仅看到了三个白色的、椭圆形的物理蛋体，你还直接用眼睛“看”到了3这个“数”，以及一个由三颗鸡蛋所构成的“集合”。
麦蒂的意思是，我们在经验物理世界的具体事物时，就已经在知觉层面上直接获取了关于数学对象的信念。
比如，当你看到冰箱里的那三颗鸡蛋，你的视觉神经系统传递给大脑的信息，绝对不只是一堆杂乱无章的颜色、形状和反射光点。你的大脑在接收到视觉刺激的瞬间，就已经完成了一个自动的加工：这里有一个由三颗鸡蛋组成的物理集合，这个集合拥有3这个数量特征。
如果你想做一顿西红柿炒鸡蛋，发现用三颗太多了，于是你从中拿走了一颗，剩下两颗。这个物理操作，就是数学公式“3-1=2”在现实世界中的直接物理呈现。
麦蒂强调，这种关于数量和集合的判断，绝对不是我们事后用抽象逻辑去进行繁琐推理得出的结论。我们往往一眼看过去，不需要数数（1、2、3），就能本能地知道眼前这堆东西的数量。这种瞬间辨识数量的现象，在心理学上被称为瞬间计数（Subitizing: 人类或动物无需逐一计数即可瞬间感知小数量物体的认知能力）。
当我们看见三颗鸡蛋时，我们的大脑其实就已经直接捕获了一个具体的“集合对象”。在麦蒂看来，“集合”就是整个宏大数学世界的基石。因为现代数学（如公理集合论）可以通过集合构建出自然数、实数、几何图形甚至无穷维度的希尔伯特空间。如果集合本身是可以被我们直接感知的物理存在，那么整个数学大厦的本体论基础就被彻底踩实了。
你听完这里，可能会敏锐地反驳说：“这不对吧？光子打在鸡蛋上反射进我的眼睛，我只看到了鸡蛋，我并没有在空气中看到一个写着大括号的‘集合’或者一个半透明的数字‘3’悬浮在那里啊？”
麦蒂对此给出了非常巧妙的解释：这当然不是说集合是一个独立于鸡蛋之外、漂浮在半空中的幽灵实体。集合是寓于其成员之中的。
我们人类感知世界，从来不是像照相机传感器那样只记录像素点。人类的认知系统在接收到视网膜信号的瞬间，就会自动把这些物理刺激组织成具有概念内容和结构的对象。这种将事物归类、分组、看作一个整体的知觉过程，是在我们经验世界的同时发生、且完全无意识的。
听到这里，如果你对哲学史有所了解，可能会隐隐约约听出几分康德（Immanuel Kant）哲学的味道。
柏拉图的意思是，我们透过三颗鸡蛋看到的“3”，是存在于时空之外理念世界里的永恒真理；而康德的意思则是，“3”是我们人类大脑先天固有的某种认知时空框架和理智范畴，是我们强加给这个世界的。
但麦蒂并没有走向康德的先验唯心主义。相反，她极为接地气地借用了现代认知科学与演化生物学的科学理论，来解释我们的大脑为什么能具备这种神奇的“数感”。
麦蒂解释说，我们之所以能一眼看出“三颗鸡蛋”背后的集合，是因为我们人类在数百万年的演化竞争中，为了生存和繁衍，演化出了一套高度发达的物体辨识与空间分组的神经机制。
比如，远古的原始人如果无法在一瞬间判断出灌木丛后面隐隐约约露出的，是1只剑齿虎还是3只剑齿虎，那么他就无法做出正确的逃跑决策，早就被自然选择无情地淘汰了。儿童在成长发育过程中，通过摆弄积木、逐一对应、分组和计数，其实就是在不断激活和训练大脑中这套与生俱来的神经回路。
麦蒂将我们大脑中的这套神经认知机制，非常形象地称作集合探测器（Set Detector: 麦蒂假想的大脑中负责快速感知和识别集合及其数量关系的认知结构）。它并不是指大脑里某个特定解剖学上的小器官，而是指一套协同运作、让我们能够将若干事物瞬间知觉为一个整体并识别其子集数量关系的综合认知能力。
到这里，我们就可以清楚地看出麦蒂对传统柏拉图主义所做出的划时代修正：
- 传统的柏拉图主义认为数学对象高高在上，存在于超时空的理念天国，完全独立于物理宇宙；
- 麦蒂的自然化实在论则把数学对象一把从天国拉回了人间。她认为，集合和数就真真切切地存在于时空之内。由三颗鸡蛋组成的集合，就老老实实地待在装鸡蛋的盒子里，与它的成员同处一个物理空间。当鸡蛋被吃掉，集合就发生变化；当成员彻底消失，集合也随之消亡。
数学对象由于就在时空之内，因此它完全可以通过光线、电磁作用和我们的大脑发生物理因果联系。这就完美地消解了贝纳塞拉夫难题的拷问。
然而，麦蒂的这套理论在风光了没多久之后，也迎来了其他哲学家的猛烈炮轰。
最致命的质疑在于：麦蒂的“集合探测器”顶多只能解释人类对低数值的“有限集合”（比如3颗鸡蛋、6只羚羊）的直接感知。但是，现代数学的版图要比这辽阔得多。
数学家每天都在打交道的，是无限集合、不可数无穷、甚至在逻辑上庞大到不可思议的超大基数（Large Cardinal: 在集合论中超越标准公理系统所能证明其存在性的极大基数）。
既然我们人类的大脑和“数感”是在有限的地球生存环境中演化出来的，原始人最多只需要知道“3颗鸡蛋拿走1颗等于2颗”或者“那里有10只野兽”。那我们究竟凭什么，能够演化出感知“空集”、“所有实数的集合”、甚至是“不可达基数”的神经机制呢？我们的肉眼无论如何也无法“直接经验”到无限啊！
如果按照麦蒂的逻辑，只有能被直接经验的简单数学才是真实存在的，那是不是意味着那些精深、高级、无法被肉眼感知的现代高阶数学，全都是人类胡思乱想出来的谎言和伪科学呢？这显然是任何一个数学家都无法接受的。
麦蒂本人后来也意识到了这个无法逾越的理论困境。在经过深思熟虑后，她最终非常坦诚地放弃了自己一手构建的自然化实在论立场，转向了其他的解释道路。
既然实在论（无论是在天上的柏拉图，还是在凡间的麦蒂）在面对“数究竟存不存在”时都会遇到如此难缠的认识论死胡同，那我们为什么不索性换一个完全相反的思路？
如果数，从一开始就根本不存在呢？如果数学，彻头彻尾就是人类编造出来的一场宏大故事呢？
唯名论的逆袭：菲尔德与“没有数的科学”
随着实在论的受挫，作为其宿敌的虚构主义（也称为数学唯名论（Mathematical Nominalism: 主张不存在抽象的数学对象，数学词汇只是没有实际指代物的标签的学说））开始大步走向舞台中央。
传统的柏拉图主义认为，数学对象是物理世界的底层蓝图。五颗行星之所以能保持稳定的轨道运转，是因为它们在物理空间中具体呈现了“5”这个数学数字的性质。
而虚构主义则干净利落地把这个因果顺序彻底倒了过来：
宇宙中先存在的，根本不是抽象的数字“5”，而是那五颗实实在在的物理行星；空间中先存在的，也绝对不是什么虚构的实数轴和三维坐标系，而是物体的质量、距离、运动以及具体的物理位置。
人类为了能够更加高效地比较、计算、记录和推导这些复杂的物理关系，才在后来发明了数、函数、几何矩阵和微分方程。数学绝对不是宇宙在诞生前就已经写好的秘密图纸，它只不过是人类为了描述这个物质世界，而开发出的一套高保真的“符号表示系统”。
把虚构主义的主张翻译成我们熟悉的哲学语言就是：物质决定意识。是先有了物质的物理世界，以及人类在这个世界中进行的物质生产和科学实践，然后，作为精神产物的数学符号，才被人类在科学实践的长期过程中建构出来。
在哲学史上，“唯名论”与柏拉图主义的“共相实在论”是一对纠缠了上千年的宿敌。唯名论的核心主张就是，诸如理念、共相、数字“3”这些抽象概念，都仅仅是一个方便人类交流的“名称”而已。它们在客观自然界中没有任何真实的实体对应，真正真实存在的，只有那些看得见、摸得着的个别具体经验事物。
数学虚构主义的领军人物，是美国著名哲学家哈特里·菲尔德（Hartry Field）。
菲尔德提出了一个非常大胆、甚至有些离经叛道的观点：像“2+3=5”或者“7是一个质数”这样的数学命题，如果我们按照它们表面的语法结构去理解，它们好像确实是在陈述一些客观对象（数字2、3、5、7）之间的关系。但由于世界上根本不存在这些抽象对象，所以，这些陈述在严格的本体论意义上，其实全都是“假的”！
为了让大家理解这句听起来惊世骇俗的话，菲尔德打了一个非常精妙的比方：
英国作家J·K·罗琳在世界著名的魔幻小说《哈利·波特》中写过一句话：“哈利·波特的额头上有一道闪电形状的伤疤。”
现在我问你：这句话是真的还是假的？
如果你是在讨论小说的剧情设定，或者在参加哈利·波特粉丝见面会的答题环节，那这句话当然是真的。谁要是说伤疤是梅花形状的，那他就是没读过书。
但是，如果我们把这个问题放在严肃的现实世界本体论层面上问：“在这个真实的、物理的地球上，真的存在一个额头有闪电伤疤、骑着飞天扫帚、会施展魔法的英国小巫师，名叫哈利·波特吗？”
答案显然是——假的！
为什么？因为哈利·波特这个物理人物在现实中根本就不存在！他只是罗琳虚构出来的小说人物。关于一个不存在的人物的任何陈述，在现实层面上都不可能是真理。
菲尔德说：数学，完全是一模一样的！
当我们说“2+3=5”或者“7是一个质数”的时候，我们其实并不是在描述客观物理宇宙中的真理事例。我们不过是在一本名叫《数学》的、逻辑极度严密、结构极其庞大的虚构小说内部，遵循着作者设定的游戏规则，讲述一些关于数字的科幻故事罢了！
你听完这里，一定会提出那个最直接的质疑：如果数学真的只是人类虚构出来的文学故事，那为什么科学家还能用它造出飞机、发射火箭、甚至预测天气？为什么《哈利·波特》的小说不能用来指导物理学家造芯片，而《数学》这本“小说”却可以？
这就要回到蒯因当年提出的不可或缺性论证了。蒯因说，数学是物理学大厦的骨架，没有数，你就无法表达任何物理规律，物理学大厦会瞬间坍塌。
为了捍卫唯物主义的尊严，也为了证明数学确实只是虚构的工具，菲尔德在1980年出版了一本堪称石破天惊的哲学著作，书名非常直白而挑衅，就叫做——《没有数的科学》（Science without Numbers）。
在这本书中，菲尔德试图完成一项在当时几乎所有人都认为绝对不可能实现的宏大工程：他要向全世界证明，即便不使用任何抽象的数学数字，物理学也完全能够照样运转！
用小木棍度量宇宙：菲尔德的唯名论物理学
在大家的固有印象中，物理学，尤其是像牛顿力学这样的经典物理学，通篇都是密密麻麻的数学公式，比如经典的 $F=ma$（牛顿第二定律）或者 $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$（万有引力定律）。如果不准使用数字，不准写出任何公式，科学研究还怎么进行？
菲尔德在《没有数的科学》中展现了极其精妙且高超的逻辑技巧。他的核心解构思想其实可以浓缩为一句话：
我们完全可以通过把“某个物理量具体等于多少数字”，改写为“这个物理量同其他物理量之间具有怎样的物理比较关系”。
让我们用一个非常通俗易懂的例子来解释这个巧妙的替换：
比如，在传统的数学物理表述中，我们测量出A点到B点之间的物理距离是3米。在这个表述中，我们不可避免地使用了实数“3”和长度单位“米”这两个数学和人为定义的实体。
那如果不准使用任何数字，该怎么用纯物理的语言，精确表达“A点到B点距离是3米”这一客观的物理事实呢？
菲尔德说，我们可以采取以下三个步骤：
- 首先，我们在物理世界中挑选一根趁手且长度固定的小木棍，将小木棍的起点端命名为 $a$，终点端命名为 $b$。线段 $ab$ 的长度，就是我们这个物理系统中的“基准长度”。
- 接着，如果我们要表达“A点到B点的距离是基准长度的3倍”，我们不需要说出“3”这个字。我们只需要用纯粹的几何几何关系语言这样表述：“在A点和B点之间，存在着两个物理点 $m$ 和 $n$。其中，$m$ 介于 A 和 $n$ 之间，$n$ 介于 $m$ 和 B 之间。并且，物理线段 Am、线段 mn 以及线段 nB 的长度，都分别与我们事先选定的小木棍 $ab$ 的长度完全重合。”
- 你看，在整段冗长而精确的叙述中，没有出现任何一个数学意义上的实数，也没有用到任何代数公式。但是，它却极其精准、毫无遗漏地表达了我们平时用“距离等于3”所代表的所有客观物理事实！
简单来说，数学就像是一把写满了数字刻度的皮尺。我们平时习惯了拿皮尺去量东西，并记录下皮尺上的数字。现在，哲学家菲尔德跑过来，把我们手中的数字皮尺全部没收了，规定谁也不许用。
那我们是不是就无法搞科学了？当然不是，我们只需要在地上捡起一根树枝，拿着这根树枝去万物身上比划。我们说：“这面墙的长度等于十根小树枝首尾相接；那张桌子的长度等于三根小树枝首尾相接。”这种纯物理的、比较性的关系，依然可以完美地构建起我们的空间物理学。
菲尔德在《没有数的科学》中，就是从时空结构和物理量的这种比例关系开始，一步步推导，极其硬核地处理了连续性、乘积、比值、导数、拉普拉斯算子、泊松方程、甚至是复杂的重力场梯度。他用这种“拿小木棍去万物身上比划”的唯名论土办法，把牛顿的引力理论全盘翻译成了完全不含有任何数字和集合名词的纯物理表述。
这就像我们在开发大型网络游戏时，为了效率，程序员通常会使用C++、Python或Java这样方便的高级编程语言。但是，在理论上，只要你足够有耐心，你完全可以直接使用最底层的汇编语言、甚至直接手写“1000101”这样的二进制机器码，也完全能够开发出同样一款吃鸡游戏。
高级语言（数学）当然非常高效、极其省事；但底层的机器码（纯物理语言）才是计算机（物理世界）真正执行的物理现实。
菲尔德自己也大方地承认，用纯物理语言来表达科学理论，在实际操作中会极其繁杂、冗长且低效。可能原本用一页公式就能写完的量子力学方程，翻译成唯名论语言之后，需要写满整整几万页的巨著。
但菲尔德的核心目的并不是要物理学家放弃数学，他只是为了在逻辑上驳倒蒯因的“不可或缺性”。他证明了：在理论上，数学绝对不是物理学不可或缺的生存命脉。没有数学，物理宇宙照样可以完美地运行，科学 [BODY_START]
唯名论的逆袭：菲尔德与“没有数的科学”
随着实在论的受挫，作为其宿敌的虚构主义（也称为数学唯名论（Mathematical Nominalism: 主张不存在抽象的数学对象，数学词汇只是没有实际指代物的标签的学说））开始大步走向舞台中央。
传统的柏拉图主义认为，数学对象是物理世界的底层蓝图。五颗行星之所以能保持稳定的轨道运转，是因为它们在物理空间中具体呈现了“5”这个数学数字的性质。而虚构主义则干净利落地把这个因果顺序彻底倒了过来：宇宙中先存在的，根本不是抽象的数字“5”，而是那五颗实实在在的物理行星；空间中先存在的，也绝对不是什么虚构的实数轴和三维坐标系，而是物体的质量、距离、运动以及具体的物理位置。
人类为了能够更加高效地比较、计算、记录和推导这些复杂的物理关系，才在后来发明了数、函数、几何矩阵和微分方程。数学绝对不是宇宙在诞生前就已经写好的秘密图纸，它只不过是人类为了描述这个物质世界，而开发出的一套高保真的“符号表示系统”。
把虚构主义的主张翻译成我们熟悉的哲学语言就是：物质决定意识。是先有了物质的物理世界，以及人类在这个世界中进行的物质生产和科学实践，然后，作为精神产物的数学符号，才被人类在科学实践的长期过程中建构出来。
在哲学史上，“唯名论”与柏拉图主义的“共相实在论”是一对纠缠了上千年的宿敌。唯名论的核心主张就是，诸如理念、共相、数字“3”这些抽象概念，都仅仅是一个方便人类交流的“名称”而已。它们在客观自然界中没有任何真实的实体对应，真正真实存在的，只有那些看得见、摸得着的个别具体经验事物。
数学虚构主义的领军人物，是美国著名哲学家哈特里·菲尔德（Hartry Field）。
菲尔德提出了一个非常大胆、甚至有些离经叛道的观点：像“2+3=5”或者“7是一个质数”这样的数学命题，如果我们按照它们表面的语法结构去理解，它们好像确实是在陈述一些客观对象（数字2、3、5、7）之间的关系。但由于世界上根本不存在这些抽象对象，所以，这些陈述在严格的本体论意义上，其实全都是“假的”！
为了让大家理解这句听起来惊世骇俗的话，菲尔德打了一个非常精妙的比方：英国作家J·K·罗琳在世界著名的魔幻小说《哈利·波特》中写过一句话：“哈利·波特的额头上有一道闪电形状的伤疤。”
现在我问你：这句话是真的还是假的？如果你是在讨论小说的剧情设定，或者在参加哈利·波特粉丝见面会的答题环节，那这句话当然是真的。谁要是说伤疤是梅花形状的，那他就是没读过书。但是，如果我们把这个问题放在严肃的现实世界本体论层面上问：“在这个真实的、物理的地球上，真的存在一个额头有闪电伤疤、骑着飞天扫帚、会施展魔法的英国小巫师，名叫哈利·波特吗？”
答案显然是——假的！因为哈利·波特这个物理人物在现实中根本就不存在！他只是罗琳虚构出来的小说人物。关于一个不存在的人物的任何陈述，在现实层面上都不可能是真理。
菲尔德说：数学，完全是一模一样的！当我们说“2+3=5”或者“7是一个质数”的时候，我们其实并不是在描述客观物理宇宙中的真理事例。我们不过是在一本名叫《数学》的、逻辑极度严密、结构极其庞大的虚构小说内部，遵循着作者设定的游戏规则，讲述一些关于数字的科幻故事罢了！
当然，说数学是一种虚构，并不是说以后科学家就不要用数学了。我们测量A点到B点的距离还是可以用皮尺测量出一个数字，说距离是3米。数学是虚构的，不代表它没有用。运用数学，可以帮助物理学家比较便捷地搞科研。数学是一个虚构出来的工具，有了这个工具，科学家描述大自然的时候会更为方便，但仅此而已。
那听到这里，你可能会想起之前蒯因提出的不可或缺性论证。蒯因指出，数学可不是让物理学研究变得更方便而已，而是不可或缺的。物理学到处都在使用实数、函数、坐标和微分方程。脱离开数学，物理学大厦将会崩塌，这个物理世界就会变得不可理喻。你菲尔德总不能为了指出数学是虚构的，连带认为这个物理世界也是虚构的吧？
菲尔德当然不会认为物理世界也是虚构的。在这一点上，他是唯物主义的，或者准确说，是自然主义的。因此，菲尔德要做的最核心工作，就是如何正面回应蒯因的“不可或缺性论证”。他在1980年出版的《没有数的科学》（Science without Numbers）这本书中，就要试图证明出一个石破天惊的结论——即便没有数学，物理学也能行。
用小木棍度量宇宙：菲尔德的唯名论物理学
在大家的固有印象中，物理学，尤其是像牛顿力学这样的经典物理学，通篇都是密密麻麻的数学公式，比如经典的 $F=ma$ 或者 $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$。如果不准使用数字和代数公式，科学研究还怎么进行？
菲尔德的做法其实非常巧妙，其核心思想可以概括成一句话：把“某个物理量等于多少具体数字”改写成“这个物理量同其他物理量之间具有怎样的物理比较关系”。
比如，本来的数学物理表达是：“在x点和y点之间的距离是3米。”这里不可避免地用到了实数“3”和单位“米”这两个抽象的概念。那该怎么样把它翻译成没有数学的纯物理语言呢？
菲尔德说，我们可以设定a点到b点之间的物理长度为一个“基准线段 $ab$”。然后，如果我们要表达“x点到y点的距离是基准长度的3倍”，我们不需要说出“3”这个数字。我们只需要使用纯几何位置关系描述：“存在两个物理点 $m$ 和 $n$。点 $m$ 介于 $x$ 和 $n$ 之间，点 $n$ 介于 $m$ 和 $y$ 之间，且线段 $xm$、线段 $mn$、线段 $ny$ 的长度都与我们作为基准的小木棍 $ab$ 长度一样长。”
你看，整句话没有出现一个数字，但它精确无误地表达了我们平时用“距离等于3”所代表的所有物理事实！
其实简单来说，数学就好像是一把写上了刻度数字的皮尺。我们拿它来测量物理距离，然后记下的是皮尺上的刻度数字。那现在，哲学家菲尔德规定：我们不许用带数字刻度的皮尺了！那我们就没法测量距离了吗？当然不是，我们就找一根趁手的小棍子，然后就拿这根小棍子去宇宙万物身上比划嘛。
《没有数的科学》这本书就是从时空结构和物理量的比例关系开始，进一步处理连续性、乘积、比值、导数、拉普拉斯算子、泊松方程、梯度以及运动定律，把牛顿的引力理论给出了纯粹的唯名论表述。
这就像我们要制作一款大型多人游戏，一般我们都是用所谓的高级编程语言（例如 Python、Java、C++）来写代码。但是，其实理论上，我们也可以直接用汇编语言对处理器编码，或者更粗暴一点，我们直接写二进制机器码“10001000101”。这在理论上也能写出同样一个游戏。高级语言（数学）当然非常高效、极其省事；但低阶的纯物理语言才是宇宙底层的物理现实。
菲尔德自己也承认，用纯物理语言来表达物理学理论，在实际操作中会极其繁杂、冗长且低效。可能原本用一页公式就能写完的定律，翻译成唯名论语言之后，需要写满整整几万页的巨著。但菲尔德的目的并不是要物理学家放弃数学，他只是为了在逻辑上反驳蒯因的不可或缺性。他只需要在理论上证明：物理学是可以不用数学就被表述出来的。
数学的作用，在菲尔德看来，就是人类虚构出来的一个便捷工具，为了让物理学的表述变得更为高效。但工具的有效并不意味着工具所指代的对象是真实存在的。就好像经纬度线能够精确描述地球上的位置，但并不意味着地球诞生之前，虚空中就真的悬浮着一套由黄金铸造的经纬度网格。
这也就是菲尔德强调的保守性（Conservativeness: 指出数学不会为物理学增添任何新的物理事实）以及表示定理（Representation Theorem: 证明不含数学的物理理论与包含数学的物理理论在物理推论上是一致的）所要表达的意思。
数学只是一种虚构的符号工具，它加速了我们的计算和推导，但它不会无中生有地为物理学创造出什么新的物理性质。用我们更为熟悉的话来说就是：并不是数学决定物理，而是物理决定数学。数学只是对物理世界的一种符号表示。
在这一点上，虚构主义与柏拉图主义的分歧就很明确了。柏拉图主义会说：是先有数学世界，物理世界是对数学世界的一种模仿或投影。而虚构主义则会回答：是先有客观存在的物理世界，数学只是对物理实在的一种符号镜像表示。虚构主义把柏拉图主义整个儿给调了个头。
在《没有数的科学》这本书的结尾，菲尔德甚至还做了一个更大胆的设想：他试图在纯物理世界中搭建出全部自然数的结构，从而证明物理自己就能造出数学。
菲尔德说，设想宇宙中有一条无限延长的射线，在这条射线上排列着一列间距完全相等的时空点。最开始的点可以充当0，紧邻它的下一个点充当1，再下一个点充当2，以此类推。那这个数字与数字之间的相继关系，不再是两个抽象数之间的关系，而是这列具体的物理时空点的相邻关系。重要的不是把数字标签贴在这些点上，而是这些物理时空点本身已经具有的排列形式：一个起点，每一个点之后都有一个确定的下一个点，且可以不断继续。
菲尔德试图表明，哪怕全宇宙一个抽象数字都没有，只要宇宙里存在这样一条物理时空射线，自然数的所有逻辑结构就已经在物理世界里面被实实在在地制造出来了。总之，菲尔德的意思就是要表明：不是物理依附于数学，而是数学寄生于物理。
然而，正当实在论和虚构主义这两派之间吵得不可开交、谁也说服不了谁的时候，数学哲学的第三个重要派别——结构主义跑过来打圆场了：
“你们两派都不要再吵啦！你们吵来吵去，方向全都搞错了。你们之所以死磕‘数字2’这个独立的实体对象存不存在，是因为被传统的思维定式绑架了。数学研究的根本就不是这些孤立的实体对象，数学真正研究的是数与数之间的结构关系！”
数是结构中的位置：结构主义的诞生与戴德金的遗产
当今数学哲学界最受关注的流派——结构主义登场了。
结构主义认为，前两派争论的问题从一开始就问错了。问题不在于数本身究竟是一种什么神秘的实体，数学从最开始就不关心数本身到底是什么。数学真正研究的，是不同对象之间可以反复出现的关系结构。
这种思想可以追溯到伟大的德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）。1888年，戴德金出版了《数是什么？数应当是什么？》这本名著。在这本书中，戴德金不再试图用某种具体的物质内容或神秘主义去定义自然数。戴德金指出，数学家关心的，是所有自然数系统共同具有的形式和结构。
什么形式呢？就是着名的皮亚诺公理所刻画的特征：存在一个唯一的起点，每个位置都有一个确定的后继，没有两个位置具有同一个后继，起点不是任何位置的后继，并且从起点出发不断取后继，最终可以覆盖整个系统。
只要有一组对象按照这种关系结构排列起来，它们就构成了一个完备的自然数序列。在这个意义上，自然数2就可以被这样来定义：2的本质，不在于它是某个特殊的集合，也不在于它是一个超时空的精神实体，而在于它在自然数结构中占据了一个确定的“位置”。也就是：它是1的后继，是0的后继的后继，它是3的前驱，它也是序列中第一个质数。
只要这些结构位置关系保持不变，至于占据这个位置的底层对象到底是什么，根本就无关紧要。
这就像国际象棋中的“王”。王可以是一块木头雕刻的，也可以是塑料的、石头的、甚至只是电脑屏幕上的一个像素图标。决定它是王的不是它的材质，而是它在整套国际象棋规则系统中所占据的位置和行动关系。如果我们在下棋时把一个兵形状的棋子放在王的位置，并且双方都规定它只能按照王的规则移动，那么在这盘棋里，它就是王。
数学对象也是类似的。数字就是结构中的位置。数学研究的不是这些位置由什么材料来填充，而是位置与位置之间有什么关系。
我们再来打个比方，这就好比你坐电梯去4楼，你必然要经过3楼，这个楼层之间的位置结构关系是必然的。至于这个4楼的标签上到底写的是阿拉伯数字“4”、还是中文“四”、甚至是写个吉利的“8”，这都不重要。关键就在于它是3楼的上一层楼。
在中国人的一些传统观念里，因为“4”听起来谐音不吉利，于是很多大楼根本就不设4楼这个标签，电梯里3楼按键接下来直接就是5楼。但大家心里都明白，这个写着“5”的楼层，在空间物理结构上其实就是原本的第4层。不同的演员都可以扮演哈姆雷特，戏剧研究关心的不是某一位演员的身份证号码，而是哈姆雷特这个角色在剧情中与其他角色的纠葛关系。
结构主义通过这种精妙的方式，把“数学对象”的争论从孤立的实体对象转向了抽象的结构关系。
然而，我们刚才说了，不同的演员都能扮演哈姆雷特，那问题是——哈姆雷特这个“角色”本身存在吗？当没有任何演员在舞台上表演的时候，哈姆雷特这个角色是否仍然存在？
同样地，当没有任何物理世界的具体实例来实现自然数结构的时候，自然数结构本身是否依然存在？
这依然是个避不开的唯心唯物之争，或者说是共相论与唯名论之争。面对这个终极追问，结构主义内部分化出了三个子派别：
- 先物结构主义（Ante Rem Structuralism）：数学结构先于物理世界而独立存在。
- 随物结构主义（In Re Structuralism）：数学结构只能存在于物理世界的具体系统之中。
- 模态结构主义（Modal Structuralism）：数学结构不必真实存在，只要在逻辑上可能存在就够了。
这三个子派别，实际上是把之前的柏拉图主义与唯名论之争，在结构主义的框架内部重新演练了一遍。
结构主义的三重奏：先物、随物与模态的博弈
首先我们来看先物结构主义。它的代表人物是著名数学哲学家斯图尔特·夏皮罗（Stewart Shapiro）。
先物结构主义（Ante Rem Structuralism）中的“ante rem”是拉丁语，意思是“在事物之前”。意思就是，数学结构是先于物理世界里面的具体事物而独立存在的。所以翻译叫做“先物结构主义”或“独立结构主义”。
先物结构主义主张，自然数结构并不依赖任何物理世界里面的具体系统来实现它。即使宇宙中没有排列成自然数序列的石头、符号或物理对象，哪怕整个物理宇宙从来没有存在过，哪怕宇宙中一个物理粒子都没有，“自然数结构”本身依然完好无损地存在着。这种观点实际上是一种经过结构主义改造过的柏拉图主义。
夏皮罗用了两种视角来看待数学结构中的位置：
第一种视角是把位置看成是“空的”。就好比“总经理”这个岗位，这个岗位本身是空的，但可以由不同的人来入职和填充，他既可以是张经理，也可以是李经理。
而第二种视角，是把位置本身也看作是一个抽象的对象。就好比我们不仅承认张经理和李经理存在，我们也承认“总经理这个职位本身”作为一个抽象实体也是存在的。因此，数字0不再仅仅是等待被填充的岗位，它本身就是一个独立的对象。
在这第二种视角上，先物结构主义展现了它鲜明的柏拉图主义底色。数学结构就像是一个建造房屋的蓝图，哪怕现实世界里一座房子都没盖起来，这个完美的抽象骨架也早就已经客观地存在于那里了，它独立且先于万物。
按照先物结构主义的观点，如果有一天外星人造访地球，虽然我们和外星人语言不通，我们说123，他们说咕咕嘎嘎，但只要我们能交代清楚数学的关系规则，我们的数学就是完全同构的。因为数学结构是独立存在的，只要对接好关系规则，外星人也能理解我们所说的数学事实。
但正如前面所说，既然先物结构主义是柏拉图主义的变体，它就依然要面对贝纳塞拉夫认识论难题：如果结构是超时空独立存在的，我们究竟怎么通过物理大脑认识它？夏皮罗诉诸了人类的模式识别（Pattern Recognition）能力。他认为，我们先在经验中识别有限的模式（如三个苹果、三个玩具），然后通过理智的推广和推理，抽象出无穷的自然数结构。但这依然没有完全解决“从有限经验如何跳跃到无限结构”的逻辑质疑。
如果不愿意承认这种脱离具体物理实例的抽象结构，那就会走向第二种结构主义——随物结构主义。其代表人物是理查德·佩蒂格鲁（Richard Pettigrew）。
随物结构主义（In Re Structuralism）中的“in re”是拉丁语，意思是“在事物之中”。随物结构主义主张，数学结构不能脱离物理世界中的具体事物而独立存在。在这个意义上，它更偏向于唯名论。如果说先物结构主义是柏拉图式的结构主义，那么随物结构主义就是亚里士多德式的结构主义。
我们都知道，亚里士多德哲学不同于柏拉图的地方就在于：形式（理念）不能脱离具体的物质而独立存在，形式是寓于质料之中的。在拉斐尔的名画《雅典学园》中，柏拉图一手指天（理念在天上独立存在），亚里士多德一手指地（形式寓于万物之中）。
在随物结构主义看来，如果没有一列列具体的列车，就没有漂浮在列车之外的“座位排列结构”；如果没有没有任何具体的物理对象按照自然数关系排列，也就没有一个独立存在于抽象天国里的“自然数结构”。如果把所有的物理实例都消灭了，数学结构也就随之不存在了。
这听起来非常符合唯物主义的直觉，但它会遇到一个致命的科学难题：宇宙是有限的，但数学是无限的。
我们这个现实宇宙的粒子数量是有限的，计算机的内存和纸张也是有限的。如果在物理世界中没有任何一个真正无穷的对象序列，那么自然数结构岂不是根本没有得到完整的实现？更麻烦的是，数学家可以随手研究“一万维空间”，但我们的物理时空并不是一万维的；数学家可以研究各种超大基数，这些在物理宇宙中根本找不到对应的实例。如果数学结构必须“随物而在”，我们又该怎么解释纯数学能够完全突破这个物理宇宙的实例限制呢？
为了解决这个难题，第三个子派别——模态结构主义应运而生。其代表人物是杰弗里·赫尔曼（Geoffrey Hellman）。
模态结构主义非常巧妙地引入了逻辑学中的可能世界（Possible Worlds: 模态逻辑中用于表示事物可能状态的逻辑概念）概念。
随物结构主义碰到的问题是：现实世界里没有一万维空间的物理实例，所以一万维空间的数学研究就成了无源之水。而模态结构主义跑过来说：
“大家别慌，我们还是唯物主义的，我们不承认存在一个超时空的理念世界。但是，我们所说的‘随物’，不单单是指我们所在的这个现实宇宙，而是指一切在逻辑上可能存在的系统。”
什么叫可能存在？只要一个系统在逻辑上不包含矛盾，它就是可能存在的。虽然在我们这个现实的宇宙里，物理空间不是一万维的，但只要“一万维空间”在逻辑上没有自相矛盾，那么在理论上，就必然存在着某一个可能世界，它的物理空间维度就是一万维的。
当数学家说“2+3=5”的时候，模态结构主义的解释是：“必然地，对于任何一个可能存在的系统，只要它满足自然数公理，那么在这个系统内，2号位置与3号位置做相加操作，就一定会得到5号位置。”
这就像是：虽然你在现实生活中可能单身，但在无数个可能世界里，总能找到各种各样的可能性。只要逻辑上不矛盾，这种可能结构就是有意义的。这就叫“现实不够，模态来凑”。
模态结构主义处于两者的折中位置：它像随物结构主义一样，不承认数学结构必须作为独立的抽象实体而存在，它依然是物理先行、物质决定的；但它又不像随物结构主义那样，把数学真理死死限制在现实世界已经存在的物理系统上。只要这样的系统在逻辑可能的世界中存在，数学结构就依然具有客观而必然的真理性。
当然，模态结构主义这种“捣糨糊”式的折中，也面临着自己的拷问：所谓“可能性”本身又是在什么意义上存在的呢？可能性是否也是一种独立于人类的客观事实呢？这些问题依然在哲学界引发着无休止的探讨。
尾声：外星人的卷子与人类的心灵
在本期大问题节目中，我们探讨了数学哲学最经典的本体论难题。
柏拉图主义认为数学是独立于人类存在的客观理念天国，解释了数学的客观与必然，却留下了“我们如何接触它”的认识论谜题。
虚构主义认为数不存在，数学是人类为了高效描述物理世界而编造出来的严密小说，菲尔德甚至证明了没有数学的物理学在理论上的可能性，但它必须解释为什么一个“谎言”能够如此精准地预测自然。
结构主义则将焦点从实体转向关系，认为数就是结构中的位置，而其内部的先物、随物、模态三派，又在结构的维度上把实在论与唯名论的交锋重新上演了一遍。
让我们回到节目最开始的终极设想：如果有一天，外星人真的驾驶着飞船造访地球。他们的生理结构与我们完全不同，他们的思维方式极其诡异，甚至他们宇宙的物理常数都与我们大相径庭。
但是，当我们将彼此的语言和定义互译清楚之后，外星人能和我们做同一张数学试卷吗？
如果数学是宇宙的真相，是独立存在的理念或结构，那么外星人的数学一定与我们殊途同归，他们也必须承认2+3=5，承认质数有无穷多个；但如果数学仅仅是人类这个物种在特定演化路径上、为了适应地球环境而发明出来的一套高保真符号故事，那么外星人可能根本无法理解我们的数学，当人类灭绝的那一天，数学也将随风而逝，不留痕迹。
当我们抬头仰望星空，尝试用几行简单的公式去推算亿万光年之外的黑洞运行的时侯，我们究竟是在“发现”造物主早已写好的宇宙剧本，还是孤独的人类，用自己也无法理解的理智心灵，在强行“改写”这个冷冰冰的世界呢？
哲学家们的看法发表完了，现在轮到你来发言了。欢迎你在视频下方发表你的看法，投出你的一票！感谢收看本期大问题，我们下期再见。