引言：AI时代下人类核心能力的再思考
大家好，欢迎来到我的频道。最近我们制作了几期关于人工智能（AI）的视频。今天，我想向大家介绍一本由一位数学家撰写的书，名为《如何解题》（How to Solve it）。这本书虽然发表于七十年前，已是相当古老的作品，但其中蕴含的核心思想在当下这个时代显得尤为珍贵。在套用公式和模板变得如此简单易行时，我们人类更应该注重培养什么样的能力？我认为，学会如何解题、如何解决问题至关重要，并且在短期内，AI尚无法完全取代人类解决复杂问题的能力。本期节目将详细介绍这本书。
我不知道大家在学生时代是否喜欢数学。我个人在学生时代非常喜欢数学，因为它解题时能带来一种解谜的快感。那种你投入一段时间，最终解决一道难题的快乐，是做其他事情难以比拟的。尤其是在重要的考试中，当你面对一道特别难的压轴题，在有限时间内苦思冥想并最终解出时，会带来巨大的愉悦感。当然，如果没解出来，也会带来巨大的挫败感，这就像一枚硬币的两面。
大家有没有想过一个问题：那些科学家、工程师，或者你身边那些你非常佩服的聪明人，在解决难题时，他们脑子里到底在想什么？你觉得他们是处于一种放空状态，突然灵光一闪，天赋爆棚就解决了问题，还是他们拥有一套普通人所不知道的秘密武器？我们从小到大解了无数的题，但很多时候我们只是在套用老师教的公式。我记得以前上学时，最明显的就是老师上课讲个例题，下课公布几个题目，你一看，“哎，这不就是例题的变式吗？”然后就立刻找到例题的解法，一步步套用，完成作业。这种方式非常机械化，并没有真正让你理解问题。一旦你遇到一个全新的、没见过的难题，你就会懵了，感觉大脑一片空白，也不知道该套哪个公式。这就像你手里只有一把锤子，看什么问题都像钉子，但遇到螺丝就傻眼了。
其实，解决问题，尤其是解决那些毫无头绪的难题，并非一项天赋，而是一套可以按部就班执行的流程。今天我给大家讲的这本书《如何解题》，由乔治·波利亚（George Pólya）在大约七十年前写成。他将数学家那种不可言传的思考方式，总结成了一套清晰、可操作的思维框架。这本书的核心是敲醒我们对“解题”二字的误解。它告诉我们一个伟大的发现固然是解决了一个重大问题，但任何问题的解决都包含了一丝发现的微光。这意味着解题真正的乐趣和最大收获，根本不在于最终的答案，而在于那个紧张、兴奋和“原来如此”的发现过程。这个过程有方法，也有迹可循。
乔治·波利亚：数学教育的批判与启发法
在介绍这套方法之前，我们先来认识一下这位老先生。乔治·波利亚是一位匈牙利裔的美国数学家，曾在斯坦福大学执教多年。作为一位顶级的数学家，他天天与世界上最聪明的大脑打交道，他的学生都是斯坦福大学的本科生。他最苦恼的是什么呢？他苦恼于看着学生们在学习数学时非常挣扎。波利亚发现了一个悲哀的事实：当时美国的数学教育简直是一场灾难。老师们把大量宝贵时间都花在让学生进行机械化的操作演练上，今天背公式，明天刷题。波利亚认为，这种做法扼杀了学生的兴趣，阻碍了他们的智力发展，滥用了他们的机会。
他打了一个非常有意思的比方：“如果你从来没有尝过樱桃派，你怎么知道自己喜不喜欢呢？”很多学生根本没有尝试过独立思考解决挑战性问题后那种发现的胜利，而是直接被枯燥的练习劝退了。更要命的是，波利亚发现很多未来的老师自己在学校里就学会了憎恨数学，然后他们回到学校去教新一代人憎恨数学，这是一个恶性循环。
后来，波利亚坐不住了，他觉得自己应该做点什么。他想告诉全世界，数学有两个面孔：一个是以欧几里得式严谨系统呈现的、冷冰冰的演绎科学，就像我们之前做逻辑播客时讲的演绎逻辑；另一面则是在创造过程中的数学，它看起来像是一门实验性的、归纳性的科学。这本《如何解题》揭示的正是创造中热气腾腾的另一面。它不是一本习题集，也不是一个公式大全，它更像是一本方法论的书。用波利亚自己的话说，这门学问叫做启发法（Heuristic: 探索的艺术，或智能的猜想）。
启发法这个词听起来可能有点玄乎，但我们可以把它理解成探索的艺术，或者是智能的猜想。传统的科学证明，就像大家已经铺好了一条高速公路，从A点到B点，路线确定，逻辑严密，一步都不能错。但在真实世界里，根本没有人给你修好这条路，你前面是一片荒野，A是你现在的位置，B是问题的答案，你怎么过去？我必须说，初中学习几何证明题，对于逻辑培养非常有帮助。启发法就是教你在这片荒野开路的智慧。它不保证你一定能成功，而是一套能够极大提高你成功率的思维策略和工具。它鼓励你去猜想、去类比、去简化、去试错。注意，这几个点都是我们后面会讲的方法。
波利亚在书里反复强调一个观点：数学不是一项观赏性的运动，要理解数学就意味着要能够做数学，而要做数学就意味着能解决数学问题。所以，这本书要传递给你的，是一个地图和一套探险工具，而不是直接告诉你宝藏就在那里。它要训练的不是你的计算能力，而是你解决问题的能力。这套能力不仅可以运用在数学、编程、创业，甚至生活中的各种问题上，其底层逻辑都是相通的。
波利亚的四步解题法：一套完整的思维闭环
这套方法其实只有一个非常简单的四个步骤。你看到这四个步骤可能会觉得平平无奇，但每一步详细讲解后，我相信会对大家有所帮助。
1. 理解问题（Understand the Problem）
你可能会说，这还不简单吗？不就是读题吗？但大家不要小看这四个字。波利亚所说的“理解”，不是简单读一下题目这么简单，他要求你像一个侦探一样，把这个问题掰开揉碎了，彻底搞明白。他其实给了我们几个“灵魂拷问”，每次遇到问题时，你可以多问自己这几句：
- 未知量是什么？ 换句话说，这个难题我们要做一个什么样的东西？我们是要求一个数吗？是要证明一个结论？还是要画一个图形？目标必须绝对清晰，你得知道你到底要解决什么样的问题。
- 已知数据是什么？ 题目给了你哪些线索？把现有的这些数字、条件、限制都列出来，一个都不能少。这其实也就告诉你，你现在手头已经有的信息是什么。
- 条件是什么？ 未知量和已知数据之间是通过什么关系连接起来的？这个条件就是连接线索和答案之间的一座桥。如果你把它更具体化，就是用什么样的概念、用什么样的逻辑，把这些已有的信息、数据和你可能要求的答案联系在一起。
打个比方，解题你可以把它当成一个破案。未知量就是凶手，已知数据就是现场留下的各种线索，比如指纹、脚印、凶器。条件就是这些线索必须共同指向一个人，并且符合逻辑和作案手法。
波利亚还提醒我们，在这个阶段，你可以做几件事情来加深自己的理解：
- 划一张图，引入合适的符号： 把抽象问题视觉化、符号化，这样可以很好地减轻大脑的认知负担。
- 目标： 达到一种状态，就是把题目在脑子里过一遍，能用自己的话非常流畅地复述出来。你甚至可以暂时把问题放一边，不要忘记它的核心要求，但如果你记不住这一点，说明你还没有真正理解它。千万别急着往下走，因为尝试回答一个你根本没搞懂的问题是非常愚蠢的。
我觉得这一点非常重要。很多时候，包括在YouTube上评论视频的人，你会发现他们可能根本没有理解你视频说的东西，就开始自己竖了个靶子去攻击了。这种情况下，说明他在思考时走了一个捷径，基本上扫了下题就开始写答案了。这种习惯其实是一个不好的习惯，你至少要知道对方的论点（argument）到底是什么，再去反驳，而不是你自己空中立了个靶子去反驳，这会让你的评论变得非常好笑。
2. 构思方案（Devise a Plan）
案发现场勘探完毕，线索也摆在桌上，接下来应该做什么呢？神探波利亚告诉我们，第二步，也是最体现创造力的一步，叫做构思方案。说白了，我们得有一个破案的思路，不能像个没头苍蝇一样乱撞。解题过程中最困难也最激动人心的部分，就是所谓的“灵光一闪”，通常就在这个阶段。但这个灵光不可能凭空掉下来。波利亚告诉我们，好的想法一般都建立在过去的经验和知识之上。所以，构思方案的核心，就是你把你自己脑子里已经存有的知识和你眼前的这个新问题，建立起有效的连接。
怎么连接呢？他其实又给了我们一套启发式的提问清单：
- 你见过它吗？你见过类似的问题吗？ 这其实是在激活你的记忆库。
- 你知道一个相关的问题吗？ 哪怕不完全一样，哪怕有点关系也行。
- 看那个未知量，然后想一想，有没有你熟悉的、解过的题目，它的未知量和这个相同或者是相似的？ 你看，这个思路其实挺巧妙的。
打个比方，你是一个大厨，今天客户点了一个你没有做过的新菜，怎么办呢？你首先会看这些主料（未知量），比如说是块牛肉。然后你会想，我以前做过哪些跟牛肉相关的菜呢？红烧牛肉、牛排、酱牛肉，这就是相关的旧问题。然后你再想，我能不能把红烧牛肉的某些步骤、煎牛排的某些技巧，也应用到这套新菜里头呢？这其实就是和你问题相关，而且你以前解决过的问题。你能利用它吗？你能利用它的结果？你能利用它的方法吗？
构思方案的精髓，就是把新问题通过类比联想，转化成一个或一系列你已经知道怎么应对的旧问题。这过程就像在你的知识库进行了一次高效的搜索，而未知量就是你最要寻找的那个搜索关键词。
3. 执行方案（Carry Out the Plan）
目前我们手上已经有一份破案计划书了，那么第三步就比较直接了，就是执行方案。波利亚说，相对于构思方案的创造性爆发，执行方案要简单多了，因为它需要的就是耐心。这个阶段就是建筑工人拿着设计师的图纸开始施工。你的任务就是把你构思好的每一步计算、每一步推理、每一个作图，都清晰准确地执行出来。
但这里有一个非常重要的点，也是很多人会犯错的地方：执行不等于无脑往前冲。波利亚给了一个黄金法则：检查你的每一步（check each step）。你得一边走，一边问自己：“你能清楚地看到这一步是正确的吗？你能证明它是正确的吗？”这其实是一个非常审慎的态度，做每一步时都要做到心里有底。为什么这很重要呢？因为一个复杂的计划往往环环相扣，其中一个环节出了岔子，整个大厦都会崩塌。你花了好几个小时，结果发现结果不对，然后回头一步步查，那种感觉是非常噩梦的。所以，执行方案的阶段考验的不是你的创造力，而是你的纪律性。你要像一个严谨的程序员写下一段代码，就马上思考它的可能影响；也要像一个细心的外科医生完成一个缝合，马上就检查是否完美。
最大的风险是什么呢？最大的风险就是学生忘记了他的计划。当这个计划不是他自己想出来的，是老师灌输的，那就更容易忘了。这也是为什么第二步构思方法这么重要，因为你自己想出来的计划，你才能真正理解，它不会在这种执行中迷失方向。
4. 回顾总结（Look Back）
到现在第四步，其实答案就已经摆在眼前了，你已经成功地解出了这道题。这时候很多人会做什么呢？就是长舒一口气，把笔一扔，然后去干别的了。然而，波利亚告诉你，你错过了整个解题过程中最宝贵的一步。这一步其实会让你的收获翻倍，甚至翻好几倍。这就是第四步：回顾。
波利亚说，任何问题都永远不会完全穷尽。一个好的学生在解完题之后，会像一个飞行员完成任务复盘飞行记录一样，重新审视整个过程。回顾阶段，你应该问自己什么呢？
- 你能检验结果吗？你能检验论证过程吗？ 比如说，把答案带回原题，看看是否成立。或者用常识判断一下，你算出来船长的年龄是8岁零两个月，这可能吗？
- 你能用不同的方法得出同样的结论吗？ 两条缆绳总比一条安全，你能用两种方法得到同一个答案，那这个答案的可靠性就大大提高了。
- 你能一眼看出结果吗？ 这是在追求一种直觉上的理解，能不能把这种复杂推导简化成一个更直观、更优雅的形式？
- 最后，也是最厉害的一个问题：你能把这个结果或者这个方法用到其他问题上吗？ 你看到这最后一个问题，直接把一次解题的经验变成一个可以重复使用的工具。你解决的就不再是这一个问题，而是这一类问题。你的思维工具箱里又多了一件趁手的兵器。
这四个步骤——理解问题、构思方案、执行方案、回顾总结——构成了一个完整的思维闭环。它不仅帮助你解除了眼前的这道难题，更重要的是，它持续、系统地提升了你的解题能力。
案例分析：波利亚四步法的实践
理论讲完了，是不是有点抽象呢？别怕，我们用波利亚书里反复用的经典例子，来完整地走一遍这个四步法。
案例一：长方体体对角线的长度
问题： 已知一个长方体的长宽高，求它的体对角线的长度。如果你对立体几何不太熟悉，但你知道初中学过的勾股定理。
第一步：理解问题
- 未知量： 是那一条从一个顶点穿过长方体中心，到达最远对角顶点的线段长度，我们叫它x。
- 已知数据： 长方体的长宽高，我们叫它a、b、c。
- 条件： x是长宽高分别为a、b、c的长方体的体对角线，这是一个联系。
- 画图： 你可以把这个图画出来。当然，AI生成的图可能显得很抽象，但大家脑海中都应该能有一个清晰的几何图像，这其实是一个挺简单的结构。
第二步：构思方案 这是最难的部分了。我们目标是要求x对角线的长度。我脑子里有什么工具呢？我只熟悉勾股定理，它是用来求直角三角形边长的。波利亚提问就来了：看那个未知量，你知不知道一个你熟悉的未知量也是线段长度的题目？当然知道了，那就是求直角三角形的斜边，这是一个相关的旧问题。
下一个问题是：这是一个和你的问题相关，而且你以前解决过的问题，你能利用它吗？你想利用勾股定理吗？我就需要一个直角三角形。但在图里，这个x它不是任何一个直角三角形的边，至少现在也不是。这时候，就有一个启发式的问题出现了：你应该引入一些辅助元素，以便让它的使用变成可能吗？原来如此！你就可以自己造一个直角三角形出来。
怎么造呢？如果你把长方体底面对角线连接起来，叫y，那这条对角线和长方体的高c，以及体对角线x，它们三个正好就组建成了一个直角三角形。你在大脑中想象一下，就是把底面的长方体对角线连起来，它其实和体对角线以及一边的这个高c，就成为了一个直角三角形。这其实就是那个灵光一闪的时刻，你找到了连接未知和已知的桥梁，你的计划书就已经诞生了。
计划： 首先，利用勾股定理，把底面由a和b组成的直角三角形里，求出底边的对角线y的长度。然后，再利用勾股定理，把你刚刚造出来的由y和c构成的直角三角形，求出最终的斜边x。这一个复杂的立体几何问题就被你拆解成了两个简单的平面几何问题。这个方案是很完美的。当然，这个问题如果大家脑海中都没有办法形成这个概念，可以试着在纸上画一下这个图，这其实是一个立体几何比较简单的一个问题。
第三步：执行方案 这一步其实就简单了，纯粹是耐心活。你就根据一步步的计算，先把底面的斜边算出来，然后，再在你构建出来的三角形里，再算出这个斜边，最后得出最终的结果。每一步都检查逻辑上没有问题。
第四步：回顾总结
先别急着扔笔，我们先来复盘一下。这个公式 x = √(a² + b² + c²) 看着靠谱吗？你检验一下特殊情况：
- 扁平长方体： 比如说你把这个长方体变得特别扁，最后一直压到变成一个二维的，它就变成一个长方形了。假设c变成了0，那就是
x² = a² + b²，它正好也是一个长方体的对角线公式，完全正确。 - 立方体： 如果它是个立方体，每个边都相同，那这个公式就是
x = √(3a²)，这也符合你对于立方体的认知。 - 对称性： 检查一下对称性。长宽高这三个维度，在三维空间中其实是平等的。如果你把a、b对调一下，它的对角线还是一样长，那么这个公式也能够完整地实现这样一个对称性。
经过这一系列回顾，你其实对这个结果的信心就更足了，而且你还加深了对这个公式的理解，就是你把它和二维的情况联系起来了。而且你又演练了一遍寻找相关问题，并且引入辅助元素来解决新问题的核心方法。这个方法其实就可以应用到别的方法去了。
案例二：三角形内接正方形
作者又举了另外一个例子，你可能觉得刚才的例子太简单了，我们看一个稍微复杂一点的，需要展示一下强大的启发式技巧。
问题： 在任何一个三角形内，做一个内接正方形。要求正方形的一边在三角形的底边上，另外两个顶点分别在另外两条边上。
第一步：理解问题
- 目标： 画一个正方形。
- 数据： 一个三角形。
- 条件： 四个顶点的位置。很清楚。
第二步：构思方案 这题就有点难了，我直接画画不出来怎么办？波利亚从工具箱里掏出来个宝贝：“如果你不能解决所有问题，先试着解决一些相关的问题。你能满足条件的一部分吗？”哎，你看，这个思路就很妙了。我暂时满足不了四个顶点都在边上这个苛刻条件，我看看能不能先满足一个放松点的条件。比如说，我先画一个正方形，让它一边在三角形的底边上，一个顶点在左腰上，这就行了。第四个顶点在哪我其实先不管它。这就很容易画出来，对吧？
但是，这个正方形可能并不唯一，我可以画个小的，也可以画个大的。那现在问题来了，我保留了条件的一部分，放弃了另一部分，那未知量现在被确定到什么程度？它该如何变化？我画了很多只满足这部分条件的正方形之后，我发现那个被我忽略的第四个顶点，你猜怎么着？这所有的第四个顶点，它们竟然都在一条直线上！这灵感又来了，就是说我只要把这条直线画出来，然后它和右边的一个腰的交点，就是你想要的那个正方形的第四个顶点位置。你看，你通过一个放松条件，把这个求解的问题转化成了一个寻找轨迹的问题，你又一次成功找到了解决方案。
这个放松条件的技巧在工程和科研里用得特别多。当你面对一个非常复杂的目标时，往往会从一个简化的模型开始，然后一步步增加复杂度，最后实现你的目标。这其实跟我昨天直播时讲的那个，就是你在做一个大的项目时，可以先把它划分成一些小部分，然后先完成一个最小可行性产品（MVP: Minimal Viable Product），做一个比较简陋的原型（prototype），然后去试水，看看顾客的反应，大家给出的反馈怎么样，然后一步步再去把它慢慢提升到你最后想要的那个状态。而不是说你一开始就想设计一个完美的，投入巨多精力，然后最终半途而废，这个产品最后都没有交付给你的客户。那样的话，其实还是前一种方法更有效。
波利亚的“大杀器”：高级启发式技巧
刚才两个例子，你已经感受到了波利亚这套方法的威力。但它工具箱里还有几个更厉害的“大杀器”。
1. 类比（Analogy）
波利亚认为，类比（Analogy: 通过比较两个不同事物或情境的相似之处来理解或解决问题）其实贯穿了我们人类所有的思维，从日常到科学的高峰都离不开它。书里举了一个例子：求一个均匀四面体的重心在哪里。这在古代是一个大难题，你直接想是非常难的。但我们可以用类比这样一个工具。
我们问自己：有没有一个更简单的、和它类似的问题？当然有了。四面体是三维中最简单的多面体，那二维中最简单的多面体是什么呢？就是三角形嘛。它的类比问题就变成了：一个均匀三角形的重心在哪里？我们知道，就是三条中线连接在一起。
最精彩的一个部分就来了：我们知道了二维空间的解法，我们能不能把它翻译到三维空间去呢？在三角形里，我们把物体看成是无数条平行于底边的细线组成起来的，每一条的重心都在它的中点。把这些中点连起来，就是它的中线。类比一下，在四面体里，我们可以把它看成是无数条平行于底面的薄片组成。那不好操作，我们可以换个思路，把它想成是平行于某一条棱的细条组成的。那么这些三角形的重心，关键就是在中线，也就是顶点和对边中点的连线。再类比一下，那四面体里类似的概念是什么？就是连接一条棱的中点和对面相应一条棱所形成的一个平面。波利亚管它叫中面。
你通过这样一步步的类比，我们其实大胆猜测，四面体的重心就是它所有中面的焦点。事实上，这个猜想也是完全正确的。这其实就是类比的力量，你站在已知世界的肩膀上，去窥探未知世界的奥秘。就像你学会了骑车，你再去骑摩托车，虽然车不一样，但平衡原理其实是相通的。这里其实就是告诉大家一个非常重要的想法：怎样去融会贯通。比如说你在某一个学科，你学到了一套方法论，学到一个模型，这个模型其实你把它抽象下来，你是可以把它应用到其他领域的。我觉得在大语言模型这方面，其实就是用了从生物学上理解的神经元之间的联系，就是人的大脑有很多神经元联系在一起的。当你激活了某部分知识或某部分功能时，部分神经元就被激活了。这个类比其实就帮助大家去构建一个可以跨学科的模型。
2. 推广（Generalization）
第二个“大杀器”叫做推广（Generalization: 将一个具体问题或概念扩展到更一般、更广泛的范畴）。这个就更有意思了，甚至有点违反直觉。我们通常认为，一个问题越具体应该越简单，越一般化应该越难。但是波利亚提出了一个著名的发明家悖论（Inventor's Paradox: 指有时解决一个更宏大、更一般的问题，反而比解决一个狭隘、具体的问题更容易）。这听起来很玄乎，我们来看一个例子：
问题： 在空间中，给出一条直线和一个正八面体，求一个通过这条直线并且平分这个八面体体积的平面。
这个听起来就头大，正八面体，我自己大脑中都没有办法直接有个直观的印象，还有平分这个体积，你感觉计算量是爆炸的。但是，我们推广一下，想想这个问题的核心是什么？是八面体这个特殊的形状吗？还是别的？我们注意到，八面体其实有一个非常好的特性，就是它有一个对称的中心。任何穿过它对称中心的平面，都能把它分成两半。
那我们可以把问题推广成：在空间中，给定一条直线和一个带对称中心的几何体，求一个通过这条直线并且平分该几何体的平面。你猜怎么着？这个推广后的问题简直就是白给的！答案就是：给定直线和这个几何体对称中心唯一确定的一条平面。因为正八面体属于带对称中心的几何体，所以我们一开始头大的那个原始问题，顺带就解决了。
这就是发明家悖论。为什么更一般的问题反而更简单呢？因为它们剥离了那些特殊但不重要的细节，比如说八面体有8个面、6个顶点，而是直击了问题的本质核心：有一个对称中心。这其实给了我们一个巨大启发：有的时候你被一个问题卡住，有可能不是因为它太难了，而是你陷入了太多无关的细节里头了。尝试往后退一步，把它看得更一般一些，说不定这就会让你能够瞬间开朗。那其实就是能够抓住问题的本质，而是忽略那些不重要的噪音，这其实是很关键的一个能力。大家能不能够去透过现象看本质，我觉得通过做数学题，或者是有这种刻意的去训练自己这方面的思想，会很有帮助。就是有很多时候我们在看一个问题、讨论它的时候，能不能抓住这个东西的重点是非常关键的。
3. 逆向工作法（Working Backwards）
第三个“大杀器”叫做逆向工作法（Working Backwards: 从目标倒推，反向思考以找到解决方案），也就是从目标倒推。这个方法古希腊数学家帕布斯（Pappus）称之为分析法（Analysis: 从目标或已知结论出发，逐步倒推寻找达到该结论所需的条件或步骤）。波利亚认为，它是解题的一个超级有力的策略。我们来看一个经典的倒水问题，你可能在各种面试题里都看过：
问题： 假设你只有一个4夸脱的桶和一个9夸脱的桶，怎样才能从河里精准地取到6夸脱的水？
很多人的第一反应都是正向工作，尝试先装满9夸脱，倒进4夸脱，剩下5夸脱再倒掉，再把4夸脱灌进去，试来试去，就像个没头苍蝇一样，最后有可能靠运气才能成功。但是，一个懂得逆向工作的人会怎么想呢？他会想：最终的成功状态是什么？成功状态就是说在那个9夸脱的桶里，不多不少正好装着6夸脱的水。
那我们现在再往上推一步的状态：怎样才能得到这6夸脱的水呢？有一种可能，就是我先得在这个大桶里装了9夸脱，然后精准地倒掉3夸脱。那怎么样精准倒掉3夸脱呢？我需要那个4夸脱的小桶来做一个度量。具体来说，就是我得让这个小桶里先有一夸脱的水，那我再朝这个大桶里倒水，这样倒满了，小桶就正好满足3夸脱了。你看，一个全新的更简单的目标就出现了：我要想办法在这个4夸脱的小桶里搞到1夸脱的水。
那这个目标怎么实现呢？那就继续倒呗，你想办法得到1夸脱的水。一个很自然的想法就出现了：你用9夸脱的水减掉两次4夸脱的水，就是1夸脱的水。这样你就找到了一个完整的路径。
现在只要把这个倒推出来的过程反过来执行一遍就行了。这就是综合法（Synthesis: 顺着分析法找到的路径，从初始条件出发，一步步执行以达到目标）。
- 先装满9夸脱大桶。
- 倒4夸脱小桶，再倒掉。
- 再倒满4夸脱小桶，再倒掉。
- 这样大桶就正好剩下1夸脱。
- 把这1夸脱倒进空的小桶里。
- 倒满9夸脱的水。
- 把大桶里的水去填满那个有1夸脱的小桶。
- 那正好倒掉3夸脱，大桶里剩下的就是你梦寐以求的6夸脱的水。
这就叫做分析和综合。分析是倒推，找到路径；综合是顺着再执行一遍。这个思维方式其实非常重要，在项目规划、人生目标设定都极其强大。你先定义哪些是你的清晰目标，然后一步步倒推你需要什么条件，最后完成哪些里程碑，这路径图就一下清晰了。
我不知道大家有没有读过亚马逊（Amazon）出过一本书，其实名字就叫《Working Backwards》。我觉得大家也非常推荐去读一下，那本书其实介绍了杰夫·贝佐斯（Jeff Bezos）在亚马逊推广的一个文化，就是从目标倒推，然后发现自己要完成哪些问题。这其实是一个非常强大的思考工具，我事实上在日常生活中经常会使用。比如说我有一个重要的项目在某个时间点要交付（deliver），那我就会倒推：我要实现这个目标，我在哪个时间点我必须做哪件事情？然后就找到一个个截止日期（deadline）。这些截止日期不光是我自己要用的，我要跟我的团队、跟我的供应商、跟我的客户都要沟通很清楚，这样我们能够明确地协同各方面的资源去实现这样一个目标。
甚至在你做YouTube视频的时候，你也可以利用这样一个思维方式。就是说我的目标是要实现一个订阅数，那么我看一下我过去的视频，每个视频可以给我增加多少订阅数。然后我再倒推，我需要在多少时间更新多少视频，才有可能在这个时间点实现这个目标。然后你就可以得出一个结论，就是说我的更新频率必须是怎么样的，我的内容情况必须怎么样的，我必须维持怎样的质量。这些都明确之后，你会知道，OK，有了这些限制之后，我在一部视频中要投入多少时间，我需要去搜集哪些资料，我需要怎样优化我的工作流，才有可能可持续地在某一个时间点实现这个目标。这样的话，一个清晰的执行方案就在你的眼前了。而不是说我先试，我先花十几个小时剪辑（Edit）一个视频，然后我把这个东西做出来之后一上传没有人看，然后我就很沮丧。你这种工作方式是不可持续的，而且是很浪费资源的。所以你要从目标倒推，然后得出来你的行动方案。这个逆向工作法确实是一个非常强大的思考方法。
启发法在日常生活与工作中的应用
讲到这里，你可能觉得波利亚这套方法看起来挺厉害，解数学题很有用，但在我日常生活工作中怎么用呢？刚才我已经给大家展示了一个日常生活中可以用的方法。那作者也给了一些例子：
1. 程序员解决Bug
如果你是一个程序员，你遇到一个棘手的Bug，那你可以先理解问题。这个Bug到底是什么？不是简单说程序崩了，而是要精确地描述在什么操作、什么样的方式下出现什么样的提示，它的复现路径是什么？就是你要知道未知量、数据和条件。
然后你要构思方案了。你有没有见过类似的Bug？搜索旧问题。报错信息指向哪个模块？看未知量。我能不能先屏蔽掉一些功能，看这个问题是否还在？就是放松条件。或者我能不能写一个简单的单元测试来复现它？就是寻找更简单的相关问题。
第三点就是执行方案了。开始打断点、加日志（log）、写代码、进行测试。每一步都验证自己的猜想是否正确。
第四点就是回顾。这个Bug解决了，为什么会产生这个Bug？根本原因是什么？我能不能写一个自动化的测试来防止它再次发生？我从中学到了什么？可以分享给团队吗？这就是整个一套解决的流程。
2. 项目管理
之前我也说了，老板告诉你一个全新的项目，毫无头绪。那你首先要理解问题。这个项目最终的关键绩效指标（KPI: Key Performance Indicator）是什么？未知量。我手上拥有哪些资源？预算、人力、时间、数据，这些就是你的数据。有哪些限制和要求？这就是你的条件。
然后你就要构思方案了。在公司内部、行业里有没有类似的成功项目可以参考？寻找相关的问题。我们先做一个最小可行性产品（MVP: Minimal Viable Product）来验证自己的想法，放松条件，解决部分问题。整个项目可以拆分成哪几个关键模块？就是分解问题。
第三步就是执行方案。制定详细的项目排期，分配任务，跟进进度。每一步都要按照最初的目标进行检查。
最后呢要进行回顾了。这个项目上线了之后，哪些地方做得好？哪些地方可以改进？这个项目的成功经验能不能提炼成方法论，用到下一个项目中去？
你看，不论是写代码还是做项目，甚至是你规划一次非常复杂的旅行，你都可以把波利亚这四个步骤当成是你的思维导航，让它帮助你在这种混乱中寻找到秩序，在未知中找到途径。
结语：培养解决问题的底层能力
好，今天关于波利亚和他这本《如何解题》的分享差不多就到这里了。我们一起回顾了这套强大的思维框架：理解问题、构思方案、执行方案和回顾总结。我们还见识了工具箱里那些闪闪发光的“大杀器”：类比、推广、逆向工作法。这本书给我们带来的启发，可能不是某一个具体的解题技巧，而是一套全新的思维信念：你解决问题的能力不是天生的，它是可以被刻意训练和系统提升的。
波利亚老爷子就像一个循循善诱的白发智者，他没有直接给你们鱼，而是教会了你怎么去钓鱼。他把那种顶尖大脑的隐性思考过程，变成一套显性的、大家都可以学习的思维工具箱。所以，下次当你再遇到一个让你抓耳挠腮的难题时，不论它是一道数学题，还是一个工作挑战，或者是生活中的一个困境，千万别只是干瞪眼，或者是凭感觉乱撞。你可以尝试一下波利亚模式：你像一个侦探一样去理解问题，然后像一个大厨一样去构思方案，再像一个工程师一样去执行计划，最后像一个飞行员一样复盘总结。你慢慢会发现，你缺的可能不是一个天才大脑，恰恰是这一个能够让你大脑高效运转起来的思维工具箱。
希望今天的分享能给大家一些启发。如果大家对这个话题感兴趣的话，非常强烈推荐去读一下英文原著。我把亚马逊的链接也发在视频的描述栏。我在学校的时候其实是详细地读过这本书，然后觉得对我非常有帮助，而且尤其是几个关键点，就是这些解题方法其实已经内化了，你在遇到问题的时候，想办法去解决的时候，想出来的这个方式其实都是这样的。而且现在有大语言模型的情况下，其实获取知识或者头脑风暴可能的解决方案的难度已经大大降低了。那么，我们更是要利用这样一个思维工具箱和思维框架，去合理地应用大语言模型，帮助你能够在日常生活中解决实际的问题。我觉得这是非常关键的。
好的，那本期节目就做到这里了，非常感谢大家观看，我们下期节目再见。