金融市场预测：从直觉到数学的挑战
自股市诞生以来，人类一直在思考一个核心问题：我们是否有可能通过某种方式来准确预测股市的起落？这不仅限于股市，也包括黄金、大宗商品，以及比特币等任何可交易的金融市场。对于许多人而言，第一直觉是这不可能，因为若能预测，市场游戏便失去了公平性。然而，为何散户总是成为专业机构的“韭菜”？为何有些基金能够多年来持续从投资市场中获得惊人的回报率？
今天，我们将一同探索这其中的秘密，而这个秘密就隐藏在一道公式当中。这道公式不仅孵化出了四个万亿级别的市场，更从根本上改变了人们应对投资风险的模式。它的起源并非来自金融行业，而是源于物理界，它融合了科学家们发现原子过程中的热量传递方式，甚至是如何在二十一点赌局中战胜拉斯维加斯。在这个探索过程中，你也将彻底了解一个或许你经常听到但却一直似懂非懂的重要金融概念——期权。本期视频的话题对许多金融新手来说可能较为高阶，但我们将确保你能够完全理解，同时也能为金融资深人士带来全新的启发。
量化奇迹：詹姆斯·西蒙斯的财富之路
我们的故事从一位数学家致富的经历开始。上世纪六十年代，詹姆斯·西蒙斯（James Simons）原本是麻省理工学院和哈佛大学的数学导师，同时为美国国防部的智库IDA进行密码破译研究。然而，因反对美国参与越战的政治立场，他被迫离开了国防部，转到一家相对不知名的石溪大学担任数学系主任。在石溪大学潜心研究二十年后，西蒙斯于1988年创立了大奖章投资基金（Medallion Investment Fund）。你可能从未听说过这个基金，因为它不对外开放。然而，从投资回报率的角度来看，它无疑是华尔街史上最成功的基金，没有之一。
自成立后的十年里，大奖章投资基金每年的回报率都远超市场平均水平。从1988年至2018年，该基金实现了平均年化66%的回报率，净利润超过1000亿美元。三十年平均年化66%的回报率意味着什么？假如1988年你受西蒙斯邀请，投入1000美元本金，三十年后这笔钱将变成40亿美元。要知道，即使能做到十年平均年化收益20%，你已是华尔街传奇。西蒙斯也因此成为史上最富有的数学家，在他去世前一年（2023年），他的身价高达300亿美元，位列福布斯全球富豪榜第二十五位。那么，西蒙斯的秘诀究竟是什么呢？
牛顿的教训：人性的疯狂与市场预测的陷阱
我们都知道，数学天才不一定能战胜股市，最好的例子莫过于艾萨克·牛顿（Isaac Newton）。作为现代物理学、经典力学和微积分的开山鼻祖，他或许是人类历史上最聪明的五个人之一。许多人可能不知道，牛顿其实相当富有，除了在剑桥担任教授，他还兼任英国皇家铸币厂总监，晚年净资产约3万英镑，相当于今天的一千万美元。然而，1720年，77岁高龄的牛顿决定挑战股市，却在不到一年的时间里经历了资产翻倍和崩盘，最终亏掉了近一半的财富。
如果我们仔细研究牛顿的投资策略，会发现这位数学天才在股市中的行为与普通散户的“追涨杀跌”惊人地相似。当年牛顿最重要的一笔投资是押注在南海公司（South Sea Company），这家公司的主营业务是将非洲奴隶运送到西班牙在美洲的殖民地。南海公司的股票刚发行时异常火爆，股价迅速上涨。到1720年4月，牛顿所持股票价值翻了一倍，他选择清仓离场，赚了不少钱。但之后股价继续疯涨，到了6月市场微调时，牛顿忍不住重新买入，股价也确实继续上涨。然而，即便已经到了最高峰，牛顿依然还在买入，当然，他并不知道那是高峰。当股价开始大幅下降时，牛顿和许多散户一样，认为这是补仓和降低平均持仓成本的大好时机，于是继续买入，但股价再也没有回弹过。牛顿就此“金盆洗手”，并说出了那句经典名言：“我能准确计算出天体的运行规律，却无法计算人性的疯狂。”
那么，西蒙斯与牛顿的差别究竟在哪里？我们不能说西蒙斯比牛顿更厉害，但西蒙斯无疑是站在了巨人的肩膀上。
期权理论的萌芽：巴舍利耶的先见之明
为了理解西蒙斯的成功，我们需要把时间推回到更早以前。史上第一位尝试通过数学攻克金融市场的人是法国数学家路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）。巴舍利耶出生于1870年，当时牛顿已过世143年。学生时代，巴舍利耶对数学最感兴趣，但在18岁时父母相继去世，他不得不接手父亲的葡萄酒生意，同时照顾年幼的弟弟妹妹。正是在这段时期，他因生意关系接触到了金融市场。几年后，他卖掉父亲的生意，到巴黎大学攻读数学，并为了生计到当时的巴黎证券交易所兼职文员，从而对金融产生了更浓厚的兴趣。
1900年，巴舍利耶完成了他的博士论文，这篇论文是人类历史上第一次通过严格的数学模型来描述金融市场中的价格波动。然而，在当时，数学界对金融并不感兴趣，甚至有些轻视，认为市场不过是投机者的赌场，不值得严肃对待。因此，巴舍利耶这篇名为《投机理论》（Théorie de la Spéculation）的论文获得的评价并不高，更未得到重视。但多年以后，这篇论文却成为了20世纪金融数学发展过程中最重要的基石之一，它将投机从经验判断提升为一种可分析的随机过程。
《投机理论》中最重要的研究对象是一种被称为期权（Option: 一种赋予持有人在未来特定时间以特定价格买入或卖出标的资产权利而非义务的金融合约）的投资性合约。一般人对期权的感觉是“听过略懂”，认为这是专业机构或少数金融玩家才应涉足的领域。然而，期权已成为现代金融体系中最核心的工具之一。从股票、债券到外汇、利率、大宗商品，几乎所有大型金融市场背后都绕不开期权的思想和模型。你可能一辈子不通过期权来交易，但你几乎不可能生活在一个没有被期权定价过的市场当中。理解期权的游戏规则至关重要，因为你所处的现实本身就运行在这套规则之下。
期权运作机制：泰勒斯与现代金融的桥梁
期权这个概念最早可以追溯到古希腊哲学家泰勒斯（Thales）。有一年，他预测即将到来的夏天会是橄榄丰收之年，届时橄榄压榨机的需求必然暴增。为了从这个预测中获利，他本应大量买入压榨机，然后高价租给橄榄商。但作为一名穷哲学家，他没有足够的资金。于是，他找到拥有压榨机的人，约定在夏天以某个固定价格（例如100元）租用他们的机器，无论收成如何，价格不变。同时，他保留选择不租的权利。为了这份承诺，泰勒斯预先支付了一笔费用（例如20元），这笔钱无论他是否租用都不会退还。
对于拥有压榨机的人来说，他们不知道夏天是旺季还是淡季。如果是淡季，机器租不出去，至少还有20元的收入；如果是旺季，他们也能租出100元。这相当于买了一份保险，于是他们同意了。那年夏天，果然如泰勒斯所预测，橄榄大丰收，压榨机的租赁价格暴涨。泰勒斯按照事先约定的租金获得了压榨机的使用权，再以更高的价格转租出去，赚取了差价。这就是人类历史上最早有记载的一次看涨期权（Call Option: 赋予持有人在未来以特定价格买入标的资产的权利）交易。
为了更深入理解，我们将泰勒斯的玩法套用到今天的金融市场。期权合约分为两种：
- 看涨期权（Call Option）：赋予买方在未来以特定价格买入标的资产的权利。
- 看跌期权（Put Option: 赋予买方在未来以特定价格卖出标的资产的权利）。
以英伟达（NVIDIA）股票为例，假设当前股价为100元/股。
- 看涨期权：如果你认为英伟达股票会上涨，可以花费10元购买一份看涨期权，赋予你在一个月后以100美元（行权价 Strike Price: 期权合约中约定的买入或卖出标的资产的价格）买入英伟达股票的权利。如果一个月后股价涨到130元，你可以行使期权，以100美元买入并立即以130美元卖出，毛利30元。扣除10元期权费，实际净赚20元。如果股价下跌，你可以选择不行权，最大损失仅为10元期权费。
- 看跌期权：如果你认为英伟达股票会下跌，可以花费10元购买一份看跌期权，赋予你在一个月后以100美元卖出英伟达股票的权利。如果一个月后股价跌到70元，你可以先以市场价70元买入股票，再以100元的行权价卖出，扣除期权费，净赚20元。如果股价上涨，你可以选择不行权，最大损失同样是10元期权费。
期权的时间和行权价都是可决定的，这些选择直接影响期权费。此外，期权还分为美式期权（可在到期日前任何一天行权）和欧式期权（只能在到期日当天行权），但这属于实操细节，不影响对期权概念的理解。
期权的三大优势：风险管理与杠杆效应
期权至少有三项显著优势：
- 限制最大损失：以上述看涨期权为例，如果你直接购买股票，当英伟达股价跌到70元时，你将亏损30元，理论上股价可能跌到0，亏损全部100元。但如果你购买的是期权，无论股价跌到多少，甚至跌到0，你的损失都仅仅是10元的期权费。
- 提供杠杆效应：如果你直接买入股票，股价从100元涨到130元，投资回报率是30%。但如果你买入期权，只需投入10元，股价涨到130元后，扣除期权费净赚20元，投资回报率高达200%。杠杆效应意味着用更少的钱撬动更大的资金。例如，正常购买100元股票的钱，可以购买10张10元期权合约。当股价同样涨到130元时，你净赚200元，而直接买股票只能赚30元。当然，高回报伴随高风险，如果你持有股票，股价下跌30%，投资也只下跌30%；但如果你持有期权且不行权，实际损失是100%（即期权费）。许多投资者最大的错误是只看绝对金额，不看投资回报率。
- 对冲风险：这是期权被专业机构广泛应用的真正原因，也是最复杂的部分。假设你持有大量英伟达股票并长期看好，但清楚短期内股价可能大幅波动，甚至跌到50元。这时你面临两难：现在卖掉股票可能错失未来上涨机会；什么都不做，万一出现技术更强的芯片公司，英伟达可能一蹶不振。这种风险是你无法承担的。期权在此发挥作用，为你的投资购买一份保险，即对冲（Hedging: 通过在相关资产上建立相反头寸来降低风险的策略）。
为了直观理解，假设你持有一股成本100元的英伟达股票，同时花费10元买了一张行权价100元的看跌期权。这张看跌期权的作用是当股价下跌时为你“兜底”。
- 情况一：股价上涨。两年后股价涨到150元，你的资产上涨50%。看跌期权到期时你不行权，亏损10元，但股票净赚40元，总计盈利30元。
- 情况二：股价横盘。期权到期日你不行权，亏损10元，这是购买保险的费用。
- 情况三：股价暴跌。假设英伟达股价跌到40元，你的股票账面亏损60元。但你有一个行权价100元的看跌期权，行权相当于你可以按100元卖出当前市场价40元的股票，获得60元利润。扣除10元期权费，净赚50元。因此，虽然股票账面亏损60元，看跌期权帮你赚回50元，你只净亏10元。
这意味着从你买下看跌期权的那天起，无论英伟达股价如何下跌，你的最大亏损都锁定在10元期权费上。这就是期权对冲的核心逻辑：股票负责长期趋势，期权负责兜住短期极端风险。你付出一点保费，既没有放弃上涨的可能性，又避免了被“一刀砍死”的风险。因此，许多散户认为合约和期权是赌博，但在专业世界里恰恰相反。使用期权是主动管理风险，不使用期权才是在被动赌博。真正成功的大资金、机构和基金并非天天靠预测对错赚钱，而是靠控制在最坏情况下仍能存活下来，而期权正是他们实现这一目标的核心工具。
期权市场的博弈：买卖双方的风险交换
此时，你可能会隐约觉得哪里不对劲：如果期权真像所说的那样，方向对了赚钱不封顶，看错了最多亏10元，那么这笔钱是从哪里来的？期权又是谁提供的呢？
其实很简单，当你购买期权时，你并非与市场交易，而是与另一个人交易。当你买期权的同时，一定有另一个人在卖期权。这个卖期权的人被称为期权卖方，他做的事情恰恰与你相反：你花10元买的是一个权利，他收你的10元卖的是一个义务。也就是说，如果未来价格对你有利，你选择行权，他就必须无条件配合你完成交易，这是他承担的责任。
你可能会问，既然期权对买方有这么多好处，那卖方岂不是很吃亏？为何会有人愿意做这种事？关键就在这里。在现实世界中，大多数期权根本不会被行权，就像你买的保险一样，大多数年份你都用不上，甚至一辈子都用不上，你只是买个“心安”，以防极端情况出现时有“兜底”。你买看涨期权是在赌一只股票在一段时间内暴涨，买看跌期权是在赌它会暴跌。但从统计学上看，股价大多数时候什么都没发生，既不暴涨也不暴跌，而是在正常的小范围内波动。你买看涨期权，股价跌了你不会行权；股价横盘或涨幅小于行权价时，你也不会行权。只有当股价暴涨后，你才会行权。
也就是说，大部分时候卖期权的人什么都不用做，就是赚你支付的10元。你可以把卖期权的人理解成一个卖保险的人，他不赌方向，他赌的是在有限的时间内市场不会出现极端行情。对他来说，每天、每周、每个月都会有大量像你一样的买家不断支付期权费。只要极端情况不频繁发生，长期来看，他是一个稳定收取现金流的角色。卖期权赚的是小钱、慢钱，但一旦市场真的出现极端情况，他损失的是大钱。然而，保险公司不也年年都在赚钱吗？
你可以这样理解：整个期权市场，买期权的人是在花钱购买一个可能发生的极端未来；卖期权的人是在收钱赌这个极端未来不会经常发生。整个金融市场就是在这两种人之间不断交换风险。所以，与你想象的可能不同，在这个交易中并没有傻子。就像买保险的人和卖保险的公司之间，大家只是根据自己不同的情况各取所需。
期权定价的百年难题：从巴舍利耶到随机游走
现在，你可能对期权还有一个疑问：期权费是如何定价的呢？我们前面提到的10元只是举例，现实中的期权费定价极其复杂。而巴舍利耶的博士论文正是为了解决这个问题。
令人意外的是，尽管期权在1900年已经存在几百年，但一直没有人找到一个公允的定价方式。当年巴舍利耶在巴黎证券交易所兼职时，看到的是一片混乱，几百个交易员高声喊价，打着各种手势。原来，当时期权的价格完全是通过交易员之间谈判出来的。对未来的商品或股票提供买入或卖出的权利，是一种极其难以精确量化的风险，因此期权的定价方式困扰了金融界几个世纪，直到这位对金融感兴趣的数学系博士生的出现。
要准确为期权定价，首先要了解股价究竟是如何起落的。我们可以把股价想象成一场买家和卖家之间的拔河：当想要买入股票的人更多时，价格就会上涨；当想要卖掉股票的人更多时，价格就会下跌。那么，影响买家和卖家数量的因素又是什么呢？几乎可以说是任何因素都有可能。除了企业本身的经营状况，股价还可能受到政治、国内经济、国际形势、天气甚至一个无聊谣言的影响。一句话，要准确预测影响股价的所有因素是绝无可能的。
巴舍利耶认为，在这种情况下，我们所能做的最合理假设是：在任何一个时间点，股价上涨和下跌的概率是一样的，都是50%。于是，从长期来看，股票价格呈现出一种随机游走（Random Walk: 描述一个点在空间中随机移动的数学模型）的特征，就好像股价的每一步走势都是由抛硬币决定的一样，现在的股价对下一刻的股价会上涨还是下降没有任何影响。这被称为股市中的随机游走理论。随机性是有效市场的一个标志。根据2013年获得诺贝尔经济学奖的有效市场假说（Efficient Market Hypothesis: 认为市场价格已经充分反映了所有可获得的信息，因此不可能通过预测市场来持续获得超额收益），有效市场是指所有信息都会很快被市场参与者领悟，并立刻反映到市场价格当中，所以我们不可能通过预测市场来赚钱。
举个例子，假设有一群人能够预知明天的股价，那么他们今天就会买入这只明天会上涨的股票。但假如他们这么做了，股价今天就会上涨，而不是等到明天。也就是说，预测本身就会改变未来的结果。因此，在一个完全有效的市场当中，明天的价格不可能具有任何可预测性，如果有，我们早就在今天就已经把这个机会利用掉了。
随机性中的秩序：高尔顿板与正态分布
那么，在一个有效市场当中，巴舍利耶究竟要如何给期权定价呢？答案隐藏在一个看起来像玩具一样的东西当中——高尔顿板（Galton Board: 一种展示正态分布的实验装置）。它由许多排成三角形排列的钉子组成。我们可以把大约六千颗小钢珠从上方倒进去。每当一颗小球撞到一根钉子时，它都有50%的概率往左或往右继续往下掉。因此，每一颗小球在穿过这些钉子时，都会经历一次随机游走。我们不可能预测任何一个小球从上走到顶部的具体路径。但是，当你不是看单个小球，而是看所有小球最终的落点时，它们却永远都会形成一个可预测的形状。
也就是说，当大量的随机游走叠加在一起的时候，就会形成正态分布（Normal Distribution: 一种常见的概率分布，其形状呈钟形，表示大多数数据点集中在平均值附近，而极端值较少）。学过基础统计学的都知道，正态分布意味着事情最有可能发生在普通范围，而极端情况虽然可能发生，但概率很低。例如，大多数人的身高集中在一个平均值附近，特别高和特别矮的人都很少。在高尔顿板里，最有可能发生的事就是一颗小球在掉落过程中，有时向左，有时向右，两边次数差不多，最终掉落在中间。如果一个小球要跌落到最左边，就代表它在掉落过程中每一次都向左一直走到最底部，这在概率上可能，但属于极端情况。一颗小球要掉到最左边或最右边只有一条路径，但是要掉到中间，则有成千上万条不同的路径可以到达。这就是为什么你在使用高尔顿板时，几乎每一次的结果都会是正态分布，大差不差。
巴舍利耶认为，股票价格的走势就像一颗小球穿过高尔顿板，每增加一层钉子就代表时间向前推进一步。因此，在短时间内，股价只能在很小的范围内上下波动，但随着时间拉长，可能出现的价格区间就会越来越宽。巴舍利耶发现，他所拓展出来的公式与八十年前法国物理学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）提出的解释热量如何从高温区域向低温区域扩散的公式是一样的。因此，巴舍利耶把自己的发现称为“概率的辐射”（radiation of probabilities）。
等到巴舍利耶获得博士学位时，他终于想出了通过数学来给期权定价的模型。简单来说，巴舍利耶所创造的模型能够计算出一个期权的预期收益，而一个公平的期权价格就是让买方和卖方的预期收益都是相等的。这个价格听起来很简单，但其实当时巴舍利耶的公式比1905年爱因斯坦（Einstein）用来证明原子和分子确实存在的随机游走理论还早了五年，也解决了困扰金融行业几百年的一个问题。然而，当时根本没有人留意到他，因为巴舍利耶是在用数学来解释金融市场，所以物理界并不感兴趣，而金融界能看得懂的人也不多。巴舍利耶的公式不受重视的最核心因素在于，还没有人懂得如何用这个公式来赚钱。但这一切在巴舍利耶写出《投机理论》整整五十年之后，终于开始发生改变。
赌场的智慧：埃德·索普与布莱克-斯科尔斯公式的诞生
1950年，一位名叫埃德·索普（Edward O. Thorp）的年轻人正在洛杉矶攻读他的物理博士学位。当时，距离洛杉矶仅几个小时车程的拉斯维加斯正迅速发展为世界赌博之都。索普看到了一个发财的机会，他将巴舍利耶的公式套用到了二十一点扑克牌赌博当中。通过风险对冲机制，索普在拉斯维加斯赚到了很多钱。许多人可能看过好莱坞电影《决胜二十一点》，那部电影就是基于一个真实故事改编的，讲述了八十年代一群麻省理工学院的学生通过数学策略和算牌方式，在拉斯维加斯二十一点赌博中赢了很多钱的故事。这群学生所运用的体系，其实就是在索普方法上的改良。
当赌场开始做出应对策略来对抗索普的方式后，索普决定把他赢来的钱带到另一个他称为“地球上最大的赌场”——股市中下注。他创立了一家对冲基金，连续二十年实现了年化20%的回报率，这在当时是一个前所未见的成绩。索普在巴舍利耶的期权定价公式上进行了改良。因为巴舍利耶的模型假设股票价格是完全随机的，但事实上并非如此，如果一家公司的经营状况良好，股价往往会随着时间上涨；反之，如果经营不善，股价就可能下跌。索普基于这个基础做出了一个更加精确的期权定价模型。他的策略是，如果按照他的模型来看，期权价格被低估了就买入，如果被高估了就做空。通过这种方式，他经常都能处于交易中的获益一方。他拥有一个比全世界任何人都要精确的模型，从而抓住了信息差来赚大钱。更重要的是，索普深谙“闷声发大财”的道理，所以整整二十年，没有人知道他是靠什么方式能够在金融市场中如此精准地赚钱。
索普的好日子一直持续到1973年被终结。因为在那一年，费舍尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出了一个彻底改变整个行业的公式，那就是现代金融里最耀眼、最昂贵的一个公式——布莱克-斯科尔斯期权定价公式（Black-Scholes Option Pricing Model: 一种用于计算欧式期权理论价格的数学模型）。
短短几年之内，布莱克-斯科尔斯公式就迅速被华尔街采纳，成为期权交易的定价基准。此后，期权市场迅速爆发，各种以期权概念为基础的金融衍生品全球总市值已超过850万亿美元。无一例外，这些产品都在某种形式上运用了布莱克-斯科尔斯公式。这也开启了一种全新的风险对冲方式，并且不再只局限于对冲基金。如今，几乎所有的大型企业、各国政府甚至个人投资者都在使用期权来对冲自己所面临的风险。例如，如果你经营一家航空公司，担心油价上涨让成本大大增加，那么借助布莱克-斯科尔斯公式就可以对这种风险进行精准的对冲。你可以买入一份与油价挂钩的期权，一旦油价上涨，这份期权就会带来收益，弥补你在油价上涨后所带来的损失。
市场博弈的未来：有效市场与量化天才的较量
索普之所以能够跑赢市场，是因为他掌握了市场中的定价偏差，也就是说，他发现了经济学家所谓有效市场中“不有效”的地方。但布莱克-斯科尔斯公式相当于又把这种定价偏差纠正了过来，让市场又变得更有效。那么，随着期权定价公式的改良，全球对冲基金就必须寻找出更高明的方法，去发现市场中的定价失效与套利机会。只要有钱赚，市场从来不会缺乏挑战规律的天才们。
于是，詹姆斯·西蒙斯再次登场。这位人类史上最富有的数学家，运用了机器学习中的隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model: 一种统计模型，用于描述一个含有隐性状态的随机过程），似乎再次找到了市场中的定价偏差，让他的大奖章基金成为了历史上投资回报率最高的基金。这也促使了加州大学洛杉矶分校（UCLA）的康奈尔教授发表了一篇论文《大奖章基金终极返利》，他在论文中的结论是，也许西蒙斯向我们证明了有效市场假说本身就是错误的。麻省理工学院（MIT）教授罗文全（Andrew Lo）在1988年也发表论文指出，有效市场假说是错误的，我们是可以预测股市的。他表示：“我们发现这个假说是错误的，你可以在数据中拒绝这个假说，所以股市中存在可预测性。如果你有正确的模型、正确的训练、资源和计算能力，那么战胜市场是可能的。”
从今天的历史回顾中，我们可以看到，在股市中发现规律和定价偏差的人，往往都是数学家或物理学家。但他们的发现为世界所带来的影响，远远不止于让他们自己变得富有。通过用数学和模型去解释市场动态，他们让人类对风险有了全新的理解，也因此开辟了全新的金融产品和市场。在未来，人们必定会继续在发现市场定价偏差以及纠正市场定价偏差当中不断进行博弈。
比较讽刺的是，如果有一天我们真的把股市中所有的规律都发现了，也就意味着我们必然会去弥补那些偏差。那么最终我们就会得到一个真正有效率、真正随机的市场，任何人都无法再通过任何方式去预测市场的走向。在那一天到来以前，各路天才们将会继续在这个市场当中寻找他们的致富之路。