双信封悖论：10万年终奖换不换？一场关于概率、期望与决策的哲学争论

在公司年会上，老板决定给小红、小黄、小蓝三人团队发放年终奖金。老板对他们说：“我会将一笔随机数额的钱放入一个红包之中，然后再往另外一个红包里面放10倍数额的钱。随后，我会随机将这两个红包中的一个发给你们。”

小红代表团队收到了这个红包，打开一看，里面竟有整整10万块钱！正当红黄蓝三人打算平分这笔钱时，老板又说：“如果你们三个同意，可以拿你们手上这个红包跟我换另一个红包，说不定会有惊喜哦！不着急决定，我给你们20分钟时间讨论一下。”

经典的双信封难题：换与不换的抉择

大家好，欢迎收看大问题节目。我是主持人机器人夏先生1号。刚刚我们描述的场景，其实就是在数学和哲学中非常经典的双信封难题（Two Envelopes Paradox: 一个关于概率和决策的逻辑悖论）。

如果你是团队一员，此时有两种策略可选： 策略1：确定地拿走已经抽到的这手头10万元的红包。 策略2：拿手头的红包去交换另一个红包。换来的另一个红包有两种可能的钱数：要么是100万元，要么是1万元。 请问，你会选择换红包吗？

此时，小红、小蓝、小黄三人为到底要不要换红包产生了激烈的争论。他们的看法很不一样，三人的名字正好代表了他们的观点：小红全名“红交换”，认为应当交换红包；小蓝全名“蓝都行”，认为交不交换其实都行；小黄全名“黄难判”，认为交不交换很难判。本期大问题节目，这红黄蓝三人将分别发表他们的看法，最终需要你来评判他们三人中谁的看法更有道理。

好，下面进入会议正片。

红交换：期望收益为正，当然应该换！

红交换: 我是红交换，我觉得当然应当交换红包，这个问题很简单。我们可以这么看：情况就是老板给了两个红包，钱更多的那个叫做大红包，钱更少的那个叫做小红包。其实，我们拿到其中任何一个红包的概率都是50%。

现在，我们已经拿到了一个10万块钱的红包。那另一个红包就有50%的概率有100万，有50%的概率有1万。我们上初中的时候都学过计算数学期望值（Expected Value: 可能的收益乘以其发生概率的总和）。因此，我们只需要简单地算一下期望值就能知道答案了。

计算过程如下：如果我们不换红包的话，就没有新增收益，当然也肯定不会有额外的损失。所以不换红包的期望值就是可能收益0元乘以概率100%，依然等于0。不换红包的期望收益是0。

而换红包的期望收益是多少呢？有两种可能： 第一种可能是我们拿小红包换大红包了，也就是100万减去10万，有90万元的可能收益，然后乘以50%的概率。 再加上第二种可能，也就是我们拿大红包换小红包了，也就是1万减去10万，损失了9万元，再乘以50%的概率。 然后两项一加，最终的期望值是40.5万元。这就是净收益，那肯定得换啊！

这个数学公式如果你看着觉得抽象的话，我翻译成人话说就是：为什么肯定要换呢？那就是换的话，一半一半的可能，要么收益90万元，要么亏损，但亏损也就亏损9万元。哪怕你是再厌恶风险的人，但这道题的收益和风险也太不对等了。你要是去做生意、做投资，现在哪能找到这么好的项目？要是赚能赚90万，要是亏顶多也就亏9万块钱，那这项目我肯定投了！这就相当于抛硬币，正面朝上你赚90万，反面朝上你赔9万，那你说你这个游戏要不要玩？哎呀，这道题太简单了，我没什么好说的了。

蓝都行：期望值计算错误，将导致悖论

好，听完红交换的看法，这时候蓝都行并不能认同红交换的看法。接下来我们就来听一听蓝都行的看法。

蓝都行: 红交换，你这算得明显不对。如果像你这样算的话，就会造成一个悖论（Paradox: 指一个命题在逻辑上似乎是正确的，但却导致一个自相矛盾或不合情理的结论）。试想，如果老板把你想换的那个红包发给另外一个团队的人了，同样也问他们要不要换红包，就会出现悖论了。

具体什么样的悖论呢？这里我们可以分两种情况： 情况1：另一个团队收到的红包里面有1万元。 情况2：他们的红包里面有100万元。 他们的规则和我们一样，就是他们知道他们手中那个红包的金额，但是不知道我们手中这个红包的金额。如果他们那个团队里面也有你红交换这样脑筋的人的话，那他也会用你的思路去算这个期望值。

在情况1中，他们打开红包里面发现里面是1万块，那么他们会认为另一个红包有50%的概率有10万元，有50%的概率有1千元。那到底换不换呢？不换的期望值是0元乘以100%等于0元。换的期望值是：第一种可能是小红包换大红包，收益9万元，乘以50%的概率；加上第二种可能，大红包换小红包，亏损9千元，乘以50%的概率。最终结果是整体净赚4.05万元，那当然要换红包了。这是第一种情况。

那在情况2中，就是他们团队打开红包发现是100万元，那么他们会认为另一个红包有50%的概率有1000万元，有50%概率有10万元。那换不换呢？依然是来算期望值。不换的期望值是0元乘以100%等于0元。换的期望值是：第一种可能小红包换大红包收益900万元，乘以50%的概率；加上第二种可能大红包换小红包，亏损90万元，乘以50%的概率。最终结果是整体净赚405万元，依然是应当换红包。

这也就是说，无论哪种情况，另一个团队的人都应当选择换红包。这也就是说，按照红交换的思路，两个不同团队的人都会认为应该用自己的红包换对方的红包，因为换红包对于两个团队的人来说都会产生正的期望收益。但是，这就出现悖论了，两个红包里面的总金额是不变的呀，怎么互相交换一下红包就能让两个团队都能产生正的期望收益呢？这就是所谓的双信封悖论。这交换的双方中必然有一方要亏嘛，怎么可能互相交换一下就双赢了呢？双方都赢，能赢两次，红交换，你真是赢麻了呀！

其实，这并不是像红交换说的抛硬币游戏，正面朝上赚90万，反面朝上赔9万。并不是这样的游戏，而是什么样的游戏呢？是老板拿了两个红包摆在桌上，其中一个大红包，一个是小红包，但不告诉你哪个是大红包，然后让你选一个。你说你选哪个？其实选哪个都一样了，因为无论你选哪个红包，都有50%的概率选到大红包，也有50%的概率选到小红包，选哪个都一样。

好，就在这个时候，老板又跟你说，左边这个红包里面放了10万元，就多了这么一个信息。你现在就能知道哪个是大红包哪个是小红包了？不会的！说白了，知道其中一个红包里面有10万元，这个信息并不能增加或降低这个红包是大红包或者小红包的概率。这10万元对于换红包游戏而言是个无效信息！这个游戏依然是一个大红包一个小红包，你不知道哪个是大红包，然后选哪个都一样，都是50%的概率。

我举个例子：你知道小明的哥哥比小明大2岁，再告诉你他们其中一人今年23岁，那么你知道这个人是小明还是小明的哥哥？答案是你不知道！因为23岁带不来任何有用的信息。所以，红交换的期望值的算法之所以会导致双信封悖论，就是因为他错误地将已经抽到的10万元这个无效信息当成了计算的依据了，这就算错了嘛，所以这才导致了悖论。

那正确的算法是什么呢？正确的算法就是我们在计算的时候不要考虑10万元这个无效信息。再说一遍，不要考虑10万元这个无效信息！因此，正确的期望值的算法是：不换的算法是一样的，期望值是0元。换的算法应当是怎么样呢？再说一遍，不要考虑10万元这个无效信息。因此，我们假定总共有11份的钱，也就是11x元钱，x是任意正数。然后，这11x的钱被装进了两个红包里，大红包里面有10x元，小红包里面有1x元。由于红包是老板随机给我们的，我们现在有50%的几率拿到了小红包，也有50%的几率拿了大红包。

因此，换红包的期望值的正确算法应当是： 第一种可能是拿小红包换大红包，收益是10x减去1x元，也就是收益9x元，乘以50%的概率。 再加上第二种可能，拿大红包换小红包，也就是1x减去10x等于-9x元，也就是亏损9x元，乘以50%的概率。 然后一通小学一元一次方程计算，最终算下来换的期望值是0元。所以你看，换红包和不换红包的期望值是一样的，都是0。

这个算法翻译成大白话就是说：换红包的话，你有50%的几率收益9x元，也有50%的几率损失9x元。这才是正确的算法，这种算法就不会遭遇到双信封悖论。因为如果有另外一个团队的话，我们换红包的净收益是0元，他们也是0元，加起来依然是0。这就不会造成双方都是正的期望收益，但实际上会有一方会出现亏损的悖论了嘛。所以，基于换红包和不换红包的净收益都是0，很明显，我的结论就是换和不换都一样！这就是我蓝都行的看法。

红交换回应：部分信息下的决策，并非悖论

好，听完蓝都行的看法，我们来看看红交换对此有什么回应。

红交换: 蓝都行，我的算法并不会造成什么悖论。谁说两个团队如果都是正的期望收益的话就会造成悖论了？双方都有正的期望收益，并不等于双方都有正的实际收益呀。我举个例子就明白了：假设有一种新型彩票，就是一个袋子里面装有编号为1到100的100个小球。那买彩票的人可以从袋子中盲抽一个小球，抽到的球上的编号是多少，就能兑换多少钱。

现在甲乙两人各自抽了一个小球。甲抽中了一个3号球，但是他不知道乙抽中的是什么。请问，甲应不应该用这个3号球去换乙手上的球呢？那肯定应当换呀！一共100个球，期望收益应该在平均值50左右。甲只抽到3号，明显低于平均值，所以甲应该换。

好，我们再假设乙正好抽中了2号球，同样乙也不知道甲抽中了几号。请问，乙应该跟甲换吗？很明显乙也应该跟甲换！因为在乙的视角里面，甲更有可能拿到一个比数字2更大的球。这个道理和之前甲为什么也应该跟乙交换的道理是一样的。因为甲乙两人都只知道一部分信息，而不知道另一部分信息，所以他们只能在不完全信息的情况下做出决策。虽然我们站在全知的上帝视角看甲，可能会觉得甲很蠢，因为他用3号球去换2号球，但是对于只有部分视野的甲，他做的事情完全是有正的期望收益的。这里没有什么悖论！这就我对蓝都行的回应。

黄难判：关键信息缺失，期望值根本无法计算

好，听完红交换和蓝都行之间的争论，另一位团队成员黄难判有点按捺不住要发言了。接下来我们来听一听黄难判的看法。

在黄难判登场之前，向屏幕前各位对哲学感兴趣的朋友推荐一门我最近开设的线上哲学课，名叫《看透世界：100个哲学大概念开悟人生！》。这个课程用100讲来讲明白、讲透西方哲学中最重要的100个哲学概念或者命题。比如“我思故我在”、“存在即合理”、“存在主义”、“后现代主义”这些哲学概念或命题，你真的理解了吗？我会在在门课里面把这些重要的哲学命题讲明白。课程的报名地址就在评论区的置顶链接那里。目前这个课程还在持续更新之中，趁这个时候报名还能领取100元的红包，享受减免100元的早鸟价。这个早鸟价的红包是确定的、没有悖论的，只要领了就会有正的100元的期望收益的，因为我们即将恢复原价了。你要是能从头到尾看完这100讲的哲学课，能让你看透世界、理解人性、开悟人生！

好，推荐完我的哲学课，我们接下来回到双信封难题的讨论之中。接下来有请黄难判登场！

黄难判: 我是黄难判，刚刚听了红交换和蓝都行你们俩之间的争论，我先说我的观点啊，你们俩都错了！刚刚蓝都行批评红交换的时候说，手头的红包里面有10万元这个信息，对于我们是否应当换红包而言是个无效信息，因此我们在计算期望值的时候不应当考虑它。这里我可以站一下红交换，帮他回应一下蓝都行，就是说这10万元不是无效信息，确实是应当纳入考量的。但是，我不同意红交换的地方在于，10万元这个信息不应当纳入期望值的计算中，我们知道10万元这个信息导致的后果是这个期望值反而就完全没法算了。

为什么这个期望值根本没法算呢？大家要知道，算期望值必须要知道概率是多少。下面关键来了，这里我就要指出蓝都行和红交换你们两人共同犯的一个错误了，就是你们俩都错误地预设了手头拿到的这个红包是大红包或者小红包的概率是50%。其实这个概率完全没法确定。

确实，如果老板只是给出两个红包，让我们从中选一个，我们不用考虑其中有个红包的金额是多少，我们选中大红包或者小红包的概率各是50%。但是，一旦我们知道其中一个红包里面有10万块，我们反而就不知道它是大红包或者小红包的概率了。为什么不知道10万元这个金额的时候概率是50%，知道了金额之后反而就没法确定概率了呢？这是因为，当我们不知道金额的时候，概率是对称的，因此这时候我们做判断的依据就是这对称的概率，要么抽到大红包，要么抽到小红包。但是，当我们打开10万元红包的那一刹那，概率就不再对称了！而这时候，我们做判断的依据就从对称的概率转换成了随机数的生成机制（Random Number Generation Mechanism: 决定随机数如何产生的一系列规则和参数）。而对于这个随机数的生成机制，我们一无所知！所以，当知道10万元这个数额，对于我们是否要换红包，反而就让我们难判了。

那这个随机数的生成机制是什么呢？它包括随机数的取值范围以及概率分布（Probability Distribution: 描述随机变量取不同数值时，每个数值出现的概率情况）。我们先说第一条随机数的范围。什么意思呢？就是老板说他是随机放了一笔数额的钱到小红包里面，问题就在于这个随机数的范围是多少？就像刚刚红交换举的抽小球的例子，当有人抽到2号或者3号这样明显小于平均值的号码的时候，他当然知道自己应当交换小球，而这的前提是什么呢？是抽小球的人他早已知道小球号码的范围是1到100。但是，咱们换红包的游戏是这样的吗？当然不是！我们根本不知道老板往小红包里面塞钱的数额范围。如果老板往小红包里面塞钱的金额范围是1万元到5万元，那我们已经抽到的这10万块的红包肯定就是个大红包了，因此肯定就不用换了。而如果老板塞钱的范围是1到100万，那我们抽到的10万块的这个红包就不一定是大红包了，那这倒可以去换一换。但是，我们对于老板塞钱的数额范围有任何信息吗？没有！你知道老板最近是手头很紧还是手头宽裕呢？你知道老板持有的股票最近是涨了还是跌了呢？这些信息我们都不知道啊！这是我们缺失的第一条关键信息：随机数的取值范围。

那即便假定随机数的取值范围已经确定了，那缺失的第二条关键信息依然没法让我们决定是否换红包，这就是随机数的概率分布。什么意思呢？就是老板往小红包里面随机放的这笔钱，是怎么个随机法呢？为了方便理解，我简单说两种不同的随机法。

第一种是老板评估了一下他所有的现金资产，假设正好有y元，这里y是一个非常大的整数。老板要在1到y这y个数里面随机挑选一个数塞进小红包。其实这个y就是随机数的范围。然后，老板是怎么在1到y这y个数里面随机挑选了一个数的呢？老板借助了量子计算机，这就是真的纯随机了。计算机屏幕随机滚动从1到y之间的任意整数，然后老板喊三二一停！停到哪个数就往小红包里面塞多少钱。那这样呢，这里每个数都有1/y的概率被选中，这是一种随机法。这种随机法导致的小红包的钱数的概率分布满足均匀分布（Uniform Distribution: 在给定范围内，所有数值出现的概率均等的一种概率分布），这表现为在1到y之间的一条直线，也就是金额取所有数值的概率一样。

那第二种随机法，依然假设老板有y元。老板依然要在1到y这y个数里面随机选一个数塞进小红包，但这次老板他不是从1到y这y个数里面一次性地随机挑选一个整数了，而是老板扔了y次硬币，其中有多少次是正面朝上，就往小红包里面放多少钱。这也是一种随机法。你们看，同样是随机塞钱，同样的随机数范围y，但是两种不同的随机法会得到完全不同的概率分布。第二种随机法导致的小红包的钱数分布是一种二项分布（Binomial Distribution: 描述在一系列独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布），当然这里y是一个非常大的数，那这个二项分布就近似正态分布（Normal Distribution: 一种常见的连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，在统计学中应用广泛），也就是形成了一条钟形曲线，取值会更集中在中间部位。

不同的随机法导致不同的概率分布。我们大概可以理解为老板往小红包里面塞钱的手法和倾向不同。老板是一把放了一个随机数呢？还是分好多好多次，小份小份地放随机数呢？塞钱的手法和倾向不一样，影响很大的。这就像什么呢？这就像你去食堂打饭，食堂阿姨拿勺子的手都会一哆嗦，她是拿大勺子舀了一勺大的，然后只哆嗦一次呢？还是拿小勺子舀了好多次，然后哆嗦了好多次呢？这只哆嗦一次，还是哆嗦了好多次，对你能吃多少肉，这影响还是挺大的！

好，我们说回来，由于缺失了随机数的取值范围和概率分布这样的随机数的生成机制信息，导致了我们根本无从判断应不应当换红包。所以，到底要不要换红包，这道题很难判！

蓝都行与黄难判的争辩：无法判断与都一样

好，听了黄难判的发言，这时候蓝都行接话了。

蓝都行: 小黄，你的这个看法，其实不就是我蓝都行的看法的翻版吗？反正我们不知道要不要换，这不就是换或不换都一样嘛？

黄难判: 不对哦，蓝都行，我说的“现有信息无法支持我们做判断”并不等同于你说的“换或不换都一样”。我打个比方，假如我问你，你是更爱吃苹果还是更爱吃梨？你可能会说，相比于苹果我更爱吃梨一点，于是你会用苹果交换梨。那我再问你，你是更爱吃苹果还是更爱吃香蕉？你可能会觉得这两个都差不多，我对它们的偏好都一样，所以对于是否用苹果交换香蕉，你都行。但是如果我再问你，你是更爱吃苹果还是更爱吃佛手瓜？你根本就没有吃过什么佛手瓜这种东西，也不知道自己会不会爱吃这东西，你对它根本没概念，那这时候你就会说：“我不知道啊，我没吃过佛手瓜啊。”这就是“现有信息无法支持我们做判断”。

你蓝都行的看法是，在现有信息下，换与不换的期望值是一样的，所以换或不换都一样。而我黄难判的看法是，在现有信息下这个期望值根本就没法算出来，因为我完全不知道概率。我刚刚说了，当我们不知道10万元这个信息的时候，概率是50%。但一旦知道了10万元这个信息的时候，由于我们不知道产生这10万元的随机生成机制，对于我们是否要换红包，反而就让我们难判了。

我换一个通俗点的例子：这就好比一个相亲节目给你安排了两个相亲对象，一个收入较高，一个收入较低，你会随机和其中一位约会。那在你完全不知道对方信息的时候，你和那个收入较高的相亲对象约会的概率就是50%。但是这时候，主持人跟你说，你要约会的这一位月收入是1万元。请问他是收入较高的那位，还是收入较低的那一位呢？那这时候你反而就懵了。你会进一步追问，你们节目组选人的范围是什么呢？如果节目里面的人选大多是月入5千到1万的，那这位月入1万的很可能就是较高收入的那一位。但如果节目组请的都是精英白领，普遍月入1万到5万，那这位月入1万的反而很可能就是收入较低的那位。但是，你对这个节目组选人的范围和分布一无所知。虽然你得到了“对方月入1万”这个信息，但是你反而就更不知道自己抽到的这位到底是哪种人了。这就是我说的，当我们不知道红包数额的时候，概率是对称的，一旦知道了，概率反而就不对称了！

所以，红交换和蓝都行虽然给出了不同的期望值的计算公式，但是他们俩的共同错误是，他们都预设了有个50%的抽到大红包或者小红包的概率。而我的看法是，我们完全没有办法判断这个概率的取值，因此这个期望值完全就没法算。我再翻译成人话再解释一遍，就是我们现在已经知道手头这个红包有10万元了。如果10万是个很大的数的话，甭说50%了，它很可能100%就是个大红包。如果10万是个很小的数的话，它很可能100%就是个小红包。但是，由于我们不知道随机数的范围和概率分布，对于10万这个数到底是大是小，我们完全没有谱。结果，你们红蓝两人就想当然地给出了个50%的概率，据此还算了半天，这不是算了个寂寞吗？因此，我黄难判的看法就是，这事根本没法算！

红交换的坚持：只要概率大于1/11就应换

好，听完黄难判的话，红交换还是有些疑惑。虽然他认为黄难判说得有点道理，但他还是坚持要换。

红交换: 确实如黄难判说的，对于老板往小红包里塞钱的随机数的范围和概率分布，我们确实不知道。因此没法确定我们手头已经拿到的这10万元的红包是否是小红包的概率。我之前估计这概率是50%，确实有点武断。那行，可以，我可以退一步。10万块钱这个红包是小红包的概率改成40%行不行？30%呢？20%呢？如果改成10%呢？我们还该不该换呢？听好了，我认为只要这个10万元的红包是小红包的概率大于1/11，我们就应该换红包！

这1/11是怎么算出来的呢？你黄难判刚刚不是说这个概率没法确定吗？好，不确定就不确定，我们就把这个概率设为一个变量。我们设10万元是小红包的概率为z。那换红包的期望值的公式就是：小红包换大红包的收益乘以z这个概率，然后加上大红包换小红包的亏损乘以1-z这个概率。这个式子没毛病吧！那么如果整个期望值要大于0的话，也就是期望值要为正的净收益的话，那么一通小学解一元一次不等式的求解计算，我们就可以算出z就要大于1/11。这也就是说，只要我们手头这10万元的红包是小红包的概率大于1/11，我们换红包带来的就是净收益，我们就应该换红包！你黄难判刚刚说概率不是50%，好，现在我算出来了，只要概率大于1/11就应该换。1/11唉，1/11唉，比10%还要小的一个数字唉！虽然我们不确定概率是多少，但只要这概率大于这么小的一个数，我们就应该换！黄难判，这道题还有什么难判的呢？

蓝都行的反驳：变量X也应考虑，回归50%概率

好，听完红交换的话，这时候还没等黄难判回应，蓝都行这时候抢先说话了。

蓝都行: 不对啊红交换，你的这个算式我之前不是已经指出有问题了嘛？按照黄难判的看法，不仅概率z应当设为变量，在我看来，钱数x也应当设为变量。我还是那句话啊，10万元是个无效信息，我们不要考虑它！所以红交换刚刚这个不等式应当改成：(10x-1x) × z + (1x-10x) × (1-z) > 0。那么一通小学解一元一次不等式的求解计算后，我们就可以算出如果换红包想要有净收益的话，z就不是如红交换所言的要大于1/11了，而是要大于1/2才行。所以，这还是回到了我蓝都行的观点，大于50%能有净收益，依然是一半一半的机会，依然是换或不换都一样！

黄难判: 哎呀小蓝啊，你怎么又说回到50%了呀？10万块不是无效信息，而是让我们更难判的信息。要是没有这10万块这个信息的话，确实你小蓝是对的，概率就是50%。但一旦打开这10万元的红包以后，这个概率就没法确定了。

红交换: 怎么就没法确定了呢？大于1/11就应当换！

蓝都行: 哎呀，咱们仨不要再吵啦，那不如这样，你们都听我的，换不换都行，我们抛硬币来决定好不好？

红交换: 怎么可能是抛硬币决定呢？肯定应当去换啊！

黄难判: 什么叫肯定应当去换？小红你哪来的信心呢？其实局面很难判！

蓝都行: 哎呀，其实换不换都行啦！

红交换: 应当换！

黄难判: 很难判！

蓝都行: 都行啦！

好吧，就让这三个人他们去争吧。那屏幕前面的你，对于要不要换红包这个问题，你更赞同这三人中的谁的看法呢？请在视频下方评论里投出你的一票，并发表你的看法！

应当换！ 很难判！ 都行啦！

就在这三个人吵得不可开交的时候，这时候老板回来了。

老板: 诶？我刚看完节目回来，你们怎么吵起来了？为了区区一个换红包的游戏，影响团队的团结，这样不好嘛！我看啊，今年你们就别拿红包了，等明年你们掰扯清楚了，我再发明年的。