人类认知的基石：感官体验与抽象建模
大家好，这里是最佳拍档，我是大飞。5月19日，英国剑桥大学的艾萨克·牛顿研究所（Isaac Newton Institute）举办了一场极具声望的罗斯柴尔德（Rothschild）公开讲座。这个讲座系列从34年前牛顿研究所创立之初就已经开始，历年来邀请的都是全球最顶尖的科学家和数学家。而本次讲座的主讲人，是布里斯托大学的延斯·马克洛夫（Jens Marklof）教授。马克洛夫不仅是布里斯托大学的理学院院长，还曾经担任过伦敦数学会的主席。他的研究领域非常广泛，涵盖了动力系统、遍历理论、量子混沌、自守函数理论、随机矩阵等多个前沿方向。
回顾马克洛夫的学术生涯，可以说是非常传奇。他最初在汉堡大学学习物理学，并取得了物理学文凭。1997年，他先后前往普林斯顿高等研究院和牛顿研究所从事博士后研究。1999年，他正式加入布里斯托大学，从普通教师一路做到学院院长，再到理学院院长，为布里斯托大学的数学和物理学科建设做出了巨大的贡献。2009年，他在布拉格国际数学物理大会上作全会报告，这是数学物理领域最高规格的学术报告之一。2014年，他又受邀出席首尔国际数学家大会并发言，这是数学界的最高荣誉之一。此外，他还获得过欧洲科学研究委员会高级研究员基金、里昂奖、玛吉杰出奖、英国皇家学会沃尔夫森科研成就奖、伦敦数学会怀特海奖等多个重要奖项，并于2015年当选英国皇家学会会士。
在这场题为《量子力学百年纪念：从秩序到混沌》的讲座中，马克洛夫带领观众回顾了量子力学波澜壮阔的百年发展史，展示了量子力学如何从一个纯粹的基础理论，一步步改变了整个世界的面貌，最后还深入探讨了量子混沌领域最前沿的研究进展。
讲座伊始，马克洛夫坦言，当他接到这场讲座的邀约时，他思考了很久到底要讲什么。在当下，人工智能占据了各大媒体的头版头条，也成为了各国政府重点扶持的方向。但是他认为，在这个时候，我们更有必要回头去看一看人类历史上最伟大的科学与技术革命——百年前量子力学的诞生。这段历史能够让我们深刻地明白，探索未知世界和扶持基础科学研究到底有多么重要。他指出，人工智能未来会如何改变社会，我们现在还不得而知，但是这场讲座会告诉大家，量子力学几乎重塑了现代生活的每一处细节。他甚至不确定，人工智能最终能否达到量子力学这样深远的影响力，一切都还有待时间的检验。
在建立这一宏大叙事之前，马克洛夫首先从人类是如何认知世界讲起。人类向来自诩聪慧，但我们认知世界的基准，始终是我们日常的感官体验。我们看见万物的形态，触摸实物的质感，感知气味和声音，人体拥有一套非常精密的感知系统。事实上，我们感知外界的整个过程，本身就伴随着大量的信息筛选与处理。当我们尝试去理解这个世界的时候，首先必须清楚一点：人类始终在通过观测与感知来认识万物。
在突破感官局限的过程中，科学与工程领域发展的核心就在于抽象建模（Abstract Modeling: 将复杂系统简化为数学理论核心框架的过程）。我们构建各种模型，用来描述我们观测到的现象。很多人觉得抽象理论晦涩难懂，甚至脱离现实，但是建模的本质恰恰是简化问题。借助简化后的模型，我们才能把这个复杂的世界看得更透彻。一旦跨越了这道思维门槛，一切都会豁然开朗。在抽象模型的基础上，我们进一步进行推演和预测，最终建立起可被验证的科学理论。
视角的颠覆：从日心说到微观世界的观测
顺着抽象建模的逻辑，马克洛夫谈到了近代科学史上一个如今看似稀松平常，在当年却石破天惊的模型，那就是尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus）提出的日心说。如今我们早已接受太阳位于太阳系中心、行星围绕太阳运转的理论，但是回溯到16世纪，人们普遍认为大地是平的。即便有少数人认可地球是球体，也很难接受地球并非静止、而是围绕太阳公转这一观点。因为这和我们日常的感官体验是完全相悖的：我们每天看到的都是太阳东升西落，怎么可能是地球在围绕太阳转呢？
但日心说的伟大之处，就在于它用一个更简洁的模型解释了复杂的天象。在此之后，伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）和约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）接续研究，最终艾萨克·牛顿（Isaac Newton）建立了经典力学体系，精准地推演和解释了行星的运行规律。日心说看似只是一套数学抽象模型，但仅仅是更换了一个参考坐标系，就实现了科学上的重大突破。
时至今日，牛顿力学依然在发挥着极其重要的作用。它是一种非常实用的近似理论，即便我们现在知道，量子力学才是描述微观世界的基础理论，但是在工程与技术领域，我们仍然在大范围地使用牛顿力学。比如，我们发射火箭、建造桥梁、设计汽车，用的都是牛顿力学。
为了直观地展现人类世界观的转变，马克洛夫在这里展示了一张今年4月阿尔忒弥斯二号任务拍摄的“地落”（Earthset）影像。当时飞船行至月球背面，拍下了地球从月球地平线落下的震撼画面。这张照片直观地体现了人类世界观的巨大转变：如今我们可以坦然地接受，地球正带着我们在宇宙中围绕太阳以每小时约10万公里的速度高速运转。当年人类登月的时候，也曾经饱受质疑，不少人认为这是一场骗局，但如今，这段历史早已成为全人类的共同记忆。
紧接着，马克洛夫又展示了另一张同样震撼的照片，这是2021年5月拍摄的晶体原子成像。这张照片并不是依靠普通显微镜拍摄，背后依托的是尖端的电子衍射技术。但是在一百多年前，人类对微观物质的样貌几乎一无所知。那时的科学家，只能依靠逻辑推演去解释那些肉眼无法观测的现象，现代量子理论就是在这样的背景下诞生的。
现代量子理论的奠基：三位巨人的历史性突破
探讨完宏观和微观的观测鸿沟，马克洛夫为我们讲述了现代量子理论波澜壮阔的诞生历程。以往很多科学突破往往归功于一位先驱，比如牛顿、爱因斯坦，但是现代量子力学的建立，离不开三位科学家的共同努力：维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）、埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）与保罗·狄拉克（Paul Dirac）。三人各自独立提出了开创性的见解，共同构筑起了这套全新的理论体系。
马克洛夫展示了一张著名的合影，这张照片拍摄于1927年的第五届索尔维会议。当时正值现代量子力学问世不久，学界也在这场会议中集中探讨了这个新理论。这张合影汇集了20世纪早期几乎所有顶尖的科学家，被世人称作人类史上智商最高的合影。照片正中的就是阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）。很多人误以为爱因斯坦排斥量子力学，这其实是一个非常大的误解。恰恰相反，爱因斯坦是推动量子力学发展的核心人物之一。
马克洛夫用指示笔标注了照片中的其他重要人物：后排是海森堡，旁边是薛定谔、狄拉克；画面中唯一一位女性是玛丽·居里（Marie Curie），她也是全场唯一一位两度斩获诺贝尔奖的学者，而且是在物理和化学两个不同的领域。图中其余的学者，大多也都拥有诺贝尔奖头衔或是日后摘得了诺奖，比如马克斯·普朗克（Max Planck）、尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）、沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）等等，阵容空前强大。
在海森堡、薛定谔与狄拉克之前，学界就已经在尝试解读原子与分子的结构。其中玻尔提出的氢原子模型是当时最成功的理论之一。人类认知事物总是会习惯依托已知的经验，研究微观世界的时候，科学家也下意识地借用宏观世界的概念，比如粒子和波动。人们很难凭空构想完全超出认知的事物，只能用宏观世界的规律去解读尺度极小的微观世界。
此前，欧内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford）通过α粒子散射实验发现，原子由原子核与核外电子构成。于是有人直接套用了太阳系的模型，将原子核比作太阳，电子比作行星，电子围绕原子核做圆周运动。但是这套模型存在致命的缺陷：按照经典电磁学理论，带电粒子做加速运动的时候会辐射电磁波并损失能量，这样一来，电子的轨道会越来越小，最终会坠入原子核，原子体系也就极不稳定。但事实上，我们周围的原子都是非常稳定的。这就说明经典力学在微观世界已经失效了。
面对经典理论的失效，玻尔对此做出了修正。他硬性规定，电子只能在特定的、分立的轨道上运行；在这些轨道上，电子不会辐射能量。只有当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道的时候，才会吸收或释放特定频率的光子。结合普朗克和爱因斯坦提出的能量量子化概念（即能量只能以整数倍的形式存在），玻尔将电子轨道也进行了量子化处理。这套模型成功解释了氢原子的光谱谱线，比如太阳光中来自氢元素的谱线，取得了阶段性的成功。当然它并不完美，却能定量解释部分微观现象，这在当时已经是非常了不起的成就了。
玻尔的理论也在随后的研究中不断完善。阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）拓展了玻尔模型，近似解释了氢原子在磁场中产生的斯塔克（Stark）效应；而爱因斯坦则研究了玻尔、索末菲理论无法覆盖的复杂系统，也就是一般可积系统，并为此建立了对应的量子化方法。但是，早期玻尔、索末菲和爱因斯坦的简易模型只能处理单电子原子、无外场或者简单外场这类极基础的量子系统，面对多粒子体系和粒子气体等复杂的微观系统时则完全无能为力。
就在这个时候，法国物理学家路易·德布罗意（Louis de Broglie）提出了一个极具启发性的观点：微观量子粒子同样具备波动性。也就是说，不仅光具有波粒二象性，所有的物质粒子都具有波粒二象性。这个想法为后续的研究指明了方向，却依旧无法解读当时诸多复杂的微观现象，但是它极大地启发了年轻的海森堡。
抽象代数的胜利：矩阵力学与波动力学的碰撞
在德布罗意思想的启发下，1925年6月，年仅23岁的海森堡因为患重度花粉症，面部严重浮肿，无法正常工作。他不得不前往北海一座名为黑尔戈兰岛（Heligoland）的礁石岛屿疗养。这座岛屿非常特殊，岛上植被稀少、花粉极少，非常适合花粉症患者疗养。马克洛夫还分享了这座岛屿有趣的历史：它曾经长期归属英国，后来英国用它换取了德国在非洲的部分殖民地；二战期间，这里战略位置关键，德军在这里修建了大量的军事设施；战后，英军还在此引爆了大量遗留弹药，这是当时人类历史上规模最大的常规爆炸。
海森堡在这座与世隔绝的小岛上得以远离纷扰，静心思考。这也印证了一点：科研工作者需要充足的时间与安静的环境来沉淀思索。即便身体尚未痊愈，海森堡依旧在此完成了颠覆性的新理论。他在六月前往海岛，七月就提交了一篇仅有十五页的论文，而这篇短文彻底改变了物理学的发展轨迹。
海森堡的核心思想回归到了抽象建模的逻辑之上：他决定构建一套理论，只描述可实际观测的物理量。他摒弃了玻尔模型中电子绕核运动的轨迹概念，因为这类轨迹无法被观测，也就不该纳入理论体系。他在论文中指出，即便是斯塔克效应这类原子处于复杂外场中的现象，旧理论也无力解释。经典力学里我们可以精准描述行星和星系的运行轨迹，但量子粒子的轨迹无法观测，因此不必对其进行描述。他在论文中推导出了一系列可观测物理量之间的数学关系，比如光谱的频率和强度。
后来，海森堡的好友马克斯·玻恩（Max Born）凭借更扎实的数学功底指出，这些关系式本质上就是矩阵运算。海森堡本人起初并没有意识到这一点，他在孤岛上凭空推导出了矩阵相关的运算规律，至今看来依旧不可思议。不久之后，同领域的沃尔夫冈·泡利用这套矩阵力学计算出了氢原子的光谱，验证了理论的正确性。1932年，海森堡凭借矩阵力学斩获了诺贝尔物理学奖。
但这套理论最初问世的时候，学界充满了质疑与不解。学者们认为这套理论形式晦涩，虽然计算结果准确，却完全脱离了直观认知。理论里没有具象的粒子、波动，只剩下抽象的代数运算，让人难以接受。马克洛夫在这里简单为不了解矩阵的朋友做了解释：我们熟知普通数字的乘法，3乘7等于21，7乘3结果也完全一致，这就是乘法交换律；但矩阵是由一组数字排列而成的数表，矩阵乘法有着专属的运算法则，并且不满足交换律。也就是调换两个矩阵的相乘顺序，最终结果会截然不同。矩阵的非交换性是量子力学区别于以往所有经典理论的核心特征，这也是当时学界抗拒这套理论的主要原因，那时人们更愿意接受粒子、波动这类具象的概念。
就在矩阵力学备受冷落的时候，薛定谔登上了历史舞台。薛定谔常年受肺结核困扰，这种疾病在当时极为凶险，几乎是不治之症。1926年，他前往瑞士阿尔卑斯山区阿罗萨（Arosa）的一家疗养院休养。他住在弗瑞齐亚别墅，在此养病的同时潜心研究，拥有了完整的时间与专注度。他希望将德布罗意的物质波理论发展为一套完整的量子体系。薛定谔比海森堡年长约14岁，在1926年，他接连发表了四篇系列论文，内容系统而完备，堪比一部专业教材，其中就包含大名鼎鼎的薛定谔方程（Schrödinger equation）。
这个方程颠覆了传统波动方程的形式，引入了虚数单位i，方程的解也包含虚数，这在当时是非常反常的。但学界很快就接纳了薛定谔的理论，因为物理学家早已熟练掌握了波动方程的解法。一时间，薛定谔成为了万众瞩目的新星，而海森堡的矩阵力学则被进一步冷落。借助薛定谔方程，人们可以精准求解氢原子、谐振子等模型，计算结果十分理想。薛定谔在后续的论文中又证明，他的波动力学与海森堡的矩阵力学本质上是等价的。这个结论让矩阵力学重新获得了学界的关注。
从人的心理角度来说，人们天然更容易理解波这种具象概念，即便量子波是一种复杂的复波。此后，学界对波函数做出了物理解释：将波函数取平方，其结果代表在某一位置观测到量子粒子的概率。这个解读被总结为哥本哈根诠释（Copenhagen interpretation）。但并非所有人都认同这个观点，爱因斯坦就对此持反对态度。爱因斯坦并不反对量子力学本身，他只是无法接受客观世界本质由概率主导这个结论。那句著名的“上帝不掷骰子”便源自于此。这句话流传至今，却屡屡被误读，很多人借此认为爱因斯坦排斥量子力学。这与事实完全相悖，爱因斯坦是量子力学发展的重要奠基人，他获得诺贝尔奖的成果就是光电效应，而光电效应正是量子理论的核心基石之一。
在波动力学风头正劲之时，海森堡始终坚持自己的理念：理论只应描述可观测的物理量。面对波动力学的兴起，他又提出了另一大开创性理论——海森堡不确定性原理（Heisenberg Uncertainty principle）。这一理论指出，我们无法同时精准测量一个粒子的位置与动量。这是一条可以定量描述的物理规律，而不是因为我们的测量技术不够先进。1933年，薛定谔与狄拉克共同获得了诺贝尔物理学奖。
理论的自洽：狄拉克方程与反物质预言
接下来，马克洛夫聊到了狄拉克。他特别提到，狄拉克也曾经在布里斯托大学工作，而且狄拉克的故居离他现在的住所仅一街之隔。狄拉克在布里斯托长大、求学，最初攻读的是工程学，后来才转向数学。马克洛夫展示了狄拉克1923年的数学考卷，字迹工整、条理清晰，这份答卷完成于海森堡发表矩阵力学的两年之前。
狄拉克获奖的核心成果是对薛定谔理论的拓展与完善。薛定谔方程无法满足狭义相对论的时空变换要求，薛定谔本人也曾经尝试修正，但是未能成功。而狄拉克凭借其深厚的数学功底，推导出了符合相对论原理的方程，也就是著名的狄拉克方程（Dirac equation）。方程包含了四个波函数分量，前两个对应粒子的自旋向上、自旋向下，后两个则对应反粒子。
这个推论在当时再次震惊了学界：反粒子？负能态？这些概念完全超出了当时人们的认知。狄拉克纯粹依靠理论的自洽性完成了推演，并未依托任何实验数据，就预言了反物质的存在。海森堡甚至评价，这是现代物理学史上最令人费解而悲伤的篇章。直到反物质被实验证实，一切才有了答案。首个被发现的反粒子是正电子（positron），也就是电子的反粒子。电子与正电子相遇会发生湮灭，质量完全转化为能量。最终在1933年，狄拉克与薛定谔共享了诺贝尔物理学奖。
回顾量子力学的诞生历程，我们能得到许多的启示，比如重大的科学突破往往诞生于意料之外。三位奠基人里，海森堡在偏远的海岛上疗养，薛定谔在阿尔卑斯山区的疗养院养病，唯有狄拉克没有身处特殊的环境，但是他的研究历程同样艰辛。他们都没有为了某个具体的应用目标去做研究，只是出于对自然规律的好奇，却最终引发了一场改变世界的科学革命。狄拉克后来任职于剑桥大学，对剑桥的物理学、核工程、半导体技术、激光、量子计算等领域影响深远。时至今日，生命科学领域的技术革新也全都建立在现代量子力学的基础之上。
改变世界的技术革命：核技术与半导体
在梳理完理论史后，马克洛夫逐一介绍了量子力学催生的关键技术变革。首先是核技术。1938年，奥托·哈恩（Otto Hahn）与弗里茨·斯特拉斯曼（Fritz Strassmann）通过实验发现了核裂变现象：用中子轰击铀原子核，原子核会分裂成两个碎片，同时释放出巨大的能量和几个中子。同年，莉泽·迈特纳（Lise Meitner）与奥托·弗里施（Otto Frisch）从理论上解释了这个现象，并将其命名为“裂变”。科学家很快就意识到，核裂变产生的中子会继续轰击其他铀原子，进而形成链式反应，在极短的时间内释放出难以想象的巨大能量。
1944年，奥托·哈恩因为核裂变研究获得了诺贝尔化学奖。二战期间，他作为德国科学家被拘留在英国的农场庄园，奖项直到战后才正式颁发。链式反应的应用催生出了人类第一枚核弹。1945年7月16日，美国在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠开展了“三位一体”核试验，完成了人类首次核爆炸。引发爆炸的钚原料体积其实非常微小，大概只有一个棒球那么大。马克洛夫展示了两张照片，依次记录了爆炸发生0.016秒和7秒时的景象：最终爆炸火球直径达到了百米级别，产生的蘑菇云高达12公里。几周后，两枚核弹先后被投放到日本的长崎与广岛，造成数十万人遇难，但也加速了第二次世界大战的结束。这是量子力学改变世界格局的重大体现。
七年后，也就是1952年，热核武器氢弹问世。它依托核聚变原理，爆炸威力达到了长崎核弹的五百倍。马克洛夫展示了美国在马绍尔群岛开展的常春藤行动的照片，这也是人类首次氢弹试验。爆炸产生的火球直径达到了5公里，蘑菇云高达37公里，整个小岛都被夷为平地。当然，核技术也有大量的民用价值。核能可以转化为热能，进而发电，为我们提供清洁、稳定的能源。放射性同位素广泛用于医疗诊断、治疗与粒子探测，比如我们熟悉的PET扫描、放射治疗等；家用烟雾报警器中也含有微量的放射性物质镅-241，正常使用无需担忧。此外，核技术还应用于工业探伤、材料检测、农产品培育等诸多领域。
量子力学催生的第二场技术革命是半导体技术。晶体管和集成电路的发明，都离不开量子理论中的能带理论。如今人工智能的发展，更是建立在高性能芯片的基础之上。可以说，没有量子力学，就没有现代电子工业，也就没有我们现在的电脑、手机、互联网，更不会有人工智能。
除此之外，太阳能电池也都是量子力学的产物，它利用的是爱因斯坦发现的光电效应。蓝光LED同样如此。很多人或许不了解蓝光LED的重要性，早年市面上只有绿光、红光LED，发光效果差，无法用作通用照明。蓝光LED问世后，通过红、绿、蓝三色结合，才能制作出高亮度的白光灯具。如今白光LED已经遍布家家户户，也极大地节约了电力能源。发明蓝光LED的三位科学家也因此获得了2014年的诺贝尔物理学奖。
激光技术同样依托量子原理，它的理论基础是爱因斯坦提出的受激辐射。如今激光的应用场景遍布各行各业：从光纤通信到激光切割，从激光手术到条形码扫描，从激光测距到激光武器，都离不开激光技术。而当下各国政府重点布局的量子计算机和量子信息，也是量子力学最受关注的前沿方向。目前，能够运行肖尔（Shor）算法的成熟量子计算机还没有问世。如今全网的信息安全都依靠公钥密码体系，它的核心原理是大数的质因数分解难度极高，用传统计算机需要花费上千年的时间才能完成，而肖尔算法可以快速完成这项运算，但必须依托量子计算机。一旦首台实用化量子计算机诞生，现有的加密体系将被彻底攻破，银行卡、网络数据的安全都会受到威胁，我们只能静观其变。
从有序到混沌：探索量子世界的终极随机
讲座进入了后半段，马克洛夫围绕本次主题“从秩序到混沌”，深入聊了聊这个领域当下热门的基础研究。马克洛夫先简单介绍了经典混沌。用牛顿经典力学的视角来解释，一个系统如果初始条件发生微小改变，最终的运动轨迹会产生巨大偏差，这个系统就是混沌系统。气象学家兼数学家爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）提出的蝴蝶效应就是对混沌特性最经典的诠释：巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，都可能引发美国得克萨斯州的一场龙卷风。微小的初始差异会被系统无限放大，最终造成天差地别的结果。经典混沌系统有两个核心特征：第一，对初始条件极度敏感；第二，系统的运动范围有限，粒子会在固定区域内往复运动。
回到量子力学层面，海森堡曾经提出，量子世界中不存在可观测的粒子轨迹，而经典力学里的混沌正是基于轨迹来定义的。那么，在量子体系中，混沌是否还存在呢？我们该如何定义和研究量子混沌呢？这就是量子混沌领域要解决的核心问题。
尤金·维格纳（Eugene Wigner）的研究思路恰好契合了海森堡的理念。维格纳曾经参与曼哈顿计划，主攻重原子核研究，比如铀核。用量子力学描述这类复杂原子核，虽然可以列出薛定谔方程，却无法直接求解。于是他提出了一个大胆的设想：把海森堡力学中描述重核的高阶矩阵直接视作随机矩阵。他不再纠结矩阵内具体的数值，转而研究随机矩阵的能谱分布规律。维格纳率先计算了二阶随机矩阵的能级间距分布规律。马克洛夫展示了一张图表，图中背景的柱状图是近代针对铀核的实验观测数据，而维格纳的理论曲线与实验结果高度吻合。这就是量子混沌的核心研究方向：为复杂量子系统建立统计描述。当年理论预测与实验数据达成一致时，在学界引起了巨大的轰动。
到了上世纪80年代，物理学家开始研究比重原子核简单得多的模型。马克洛夫展示了一张圆形壁垒台球模型的图示：粒子被限制在方形区域内，区域中心设有一个圆形障碍物。粒子在区域内自由运动，撞击边界后遵循几何光学规律反射。中心圆盘的存在，让这套经典系统产生了混沌效应。初始角度的微小偏差，会在一次次反射中不断放大，每撞击一次圆盘误差就会翻倍。撞击n次后，误差将变为初始值的2的n次方倍，完美诠释了蝴蝶效应。
法国的一个研究团队对这套经典混沌系统做了量子化处理，将经典粒子替换为量子粒子，限定在同一区域内求解薛定谔方程，再统计量子能级的分布规律。最终结果再次与随机矩阵理论完美契合。时至今日，学界仍在探究一个核心难题：为什么这样一个简单的量子系统的特性，会和随机矩阵高度相似呢？马克洛夫回忆说，1997年他在剑桥牛顿研究所访学时，就曾和这支法国团队交流，那时他们已经完成了这项研究，那段经历也让他收获良多。
为了形成对比，马克洛夫探讨了非混沌系统的特征。粒子在空心方盒内做规则运动，这就是典型的可积系统，也是爱因斯坦1917年研究过的系统。这类系统的能级间距服从泊松分布（Poisson distribution），随机性达到最大。著名的贝里-泰伯尔猜想（Berry-Tabor conjecture）就是围绕这两类系统的能级分布差异展开。这个猜想认为，对于典型的可积量子系统，它的能级间距分布服从泊松分布；而对于混沌量子系统，它的能级间距分布则服从随机矩阵理论预测的维格纳分布。对这个猜想给出严谨的数学证明，至今仍是学界的重大难题。
令人振奋的是，今年早些时候，马克洛夫与韩国学者金宇渊（Wooyeon Kim）、美国学者马修·威尔士（Matthew Welsh）合作，成功证明了三维方盒内量子粒子体系下的贝里-泰伯尔猜想。他们证实，这类系统的本征值关联呈现出了完全随机的特征。海森堡注重可观测物理量，能级统计恰好贴合了这个思路；而薛定谔聚焦波动方程，量子系统的波函数也呈现出丰富的几何图案。过去三十年间，学界一直在研究这类问题，量子疤痕（Quantum scars）等现象也是当下的热门课题，同样属于牛顿研究所这次几何谱理论项目的研究范畴。
马克洛夫还展示了一张老照片，拍摄于近三十年前，是他初到牛顿研究所时留下的影像。博士毕业后初入学界的他，在这里结识了领域内所有顶尖的学者。这段经历极大地助推了他的学术生涯，他也希望能像前辈们一样帮助在场的年轻学者成长。他说，当时他的办公室室友是戴维·索利斯（David Thouless），戴维·索利斯后来斩获了2016年的诺贝尔物理学奖。牛顿研究所常年同时开展两个平行的学术项目，1997年这里就举办过机器学习相关的研讨会，主讲人是杰弗里·辛顿（Geoffrey Hinton）。马克洛夫笑着说，当年他还认为机器学习难以发展，如今看来着实判断失误。
讲座结束后，进入了问答环节。现场观众提出了很多精彩的问题，其中有位观众问道：量子力学和如今人工智能领域的发展是否有相似之处？马克洛夫回答说，当下确实有大量数学家投身人工智能的研究，形式化证明工具Lean如今也备受关注。一方面它可以和人工智能结合，另一方面也能检验大语言模型是否出现逻辑谬误、证明错误等幻觉问题。而且人工智能领域资金充足、发展潜力巨大。
但在讲座的尾声，他借此提醒大家，各国如今普遍将资源集中在人工智能和量子技术两大方向，这固然没错，但是我们也要兼顾其他基础学科。颠覆性的重大突破，永远可能诞生在看似冷门的领域，就像量子力学的先驱们当初绝没有想到他们的基础理论会催生出今天的核工业和信息技术一样。只有维持整个基础科学生态的完整，我们才能不错过下一次科技革命。